23. Ложная корреляция и частный коэффициент корреляции.

Ложная корреляция – это корреляция, которая возникла не в результате прямого соотношения между оцениваемыми переменными, а в результате их связей с третьей переменной (или четвертой, или более), при которой нет никакой связи, объединяющей эти переменные.

Частный коэффициент корреляции

Иногда в практических ситуациях не удается интерпретировать на содержательном уровне выявленную парную связь между исследуемыми компонентами признака. Причину этого часто следует искать в опосредованном влиянии на исследуемые показатели некоторого третьего фактора /2/. Роль опосредованно влияющих факторов могут играть множество неучтенных показателей. Следовательно, необходимо введение измерителей статистической связи, которые были бы очищены от такого влияния.

В качестве измерителя степени тесноты связи между переменными Х и Y при фиксированных значениях других переменных используются частные (“очищенные”) коэффициенты корреляции.

Пусть имеется многомерный нормальный вектор X

X = {x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ..., x^(p)},

где x⁽ⁱ⁾ – компоненты вектора, p – его размерность. Необходимо определить частный коэффициент корреляции r_ij между x⁽ⁱ⁾ и x^(j) компонентами вектора при фиксированном множестве переменных x^(i,j), дополняющих пару x⁽ⁱ⁾ и x^(j) .  При данных условиях

(82)

где R_ij. – алгебраическое дополнение для элемента r_ij в определителе корреляционной матрицы R анализируемых признаков x⁽ⁱ⁾, т.е. в определителе

Выражение (82) при условии р = 3 будет иметь вид

(83)

Последовательно присоединяя к мешающим переменным все новые признаки из набора, можно получить рекуррентные соотношения для частных коэффициентов корреляции r_{12(3,4,…,k)} порядка k (т.е. при k исключенных опосредованно влияющих параметров) по частным коэффициентам корреляции порядка k-2 (k = 1, 2, …, р-2)

(84)

Если условие нормальности вектора нарушается, то возникают проблемы, связанные с необходимостью учета фиксированного уровня значений мешающих переменных /2, с. 82-83/.

24. Множественная корреляция. Коэффициент конкордации.

Анализ множественных ранговых связей  Коэффициент конкордации

Свойства рассмотренных выше измерителей парных связей свидетельствует о том, что чем теснее связь, тем больше информации содержит одна переменная относительно другой. На практике бывает важно объяснить поведение одной переменной (отклика) поведением совокупности других. Для решения таких задач используются измерители степени тесноты множественной связи /2, 4. 12/. Кендаллом был предложен показатель  , названный коэффициентом конкордации (согласованности), который вычисляется из выражения

(91)

где m – число одновременно анализируемых порядковых переменных, R_i^(kj) – i-ый ранг отобранной для исследования порядковой переменной, k_j,   – номер этой переменной в исследуемом многомерном признаке. Коэффициент конкордации обладает следующими свойствами:

• 0   1;

•  =1 при условии, когда все m анализируемых упорядочений совпадают;

• коэффициент конкордации, вычисленный для двух переменных пропорционален парному ранговому коэффициенту корреляции Спирмэна 

Выражение (91) справедливо для случая отсутствия групп объединенных рангов. Если это условие не выполняется, то   вычисляется по формуле

(92)

где Т^(kj) – поправочный коэффициент, который вводится для групп объединенных рангов и вычисляется из выражения (87).