16. Задачи корреляционного анализа. Типы измерителей статистической связи. Постановка задачи корреляционного анализа.

• выбор подходящего измерителя связи с учетом специфики и природы анализируемых переменных;

• точечное или интервальное оценивание измерителя связи по выборочным данным, полученным в результате эксперимента;

• проверка гипотезы о значимости (статистически значимом отличии значения корреляционной характеристики от нуля) анализируемого измерителя связи;

• анализ структуры связей между компонентами многомерного признака.

Все это задачи корреляционного анализа. В качестве измерителей степени тесноты парных связей между количественными переменными могут использоваться индекс корреляции, коэффициент корреляции (иногда используют термин “коэффициент корреляции Пирсона”), корреляционное отношение, частный коэффициент корреляции, применяемый для исследования частных или “очищенных” связей, освобожденных от опосредованного одновременного влияния на исследуемую парную связь других переменных.

Если статистическая информация о многомерном признаке представлена не в количественной, а в порядковой шкале, то измерение парных связей осуществляется посредствомранговых выборочных измерителей связи – коэффициентов корреляции Кендалла и Спирмэна. Измерение степени тесноты множественной связи между количественными переменными возможно с помощью множественного коэффициента корреляции (иликоэффициента детерминации), а между порядковыми переменными – с помощью коэффициента конкордации.

При таком многообразии измерителей статистической связи важной становится задача выбора адекватного ее измерителя. Применимость того или иного измерителя определяется как формой представления исходной статистической информации (количественные или порядковые признаки), так и формой связи (линейная, нелинейная). От грамотного выбора адекватного измерителя связи зависит достоверность статистических выводов, распространяемых на исследуемую многомерную генеральную совокупность. Предварительный анализ структуры связи между компонентами исследуемого многомерного признака, представленного выборкой из генеральной совокупности, осуществляют с помощью корреляционных полей.

17. Понятие тесноты статистической связи между количественными переменными. Парный коэффициент корреляции.

Анализ статистических связей между количественными переменными  Оценивание парных статистических связей

Коэффициент корреляции. Свойства коэффициента корреляции

Пусть исследуется парная зависимость между случайными компонентами X и Y двумерного признака. Предположим, что в результате эксперимента получена выборка из двумерной нормальной генеральной совокупности. Степень тесноты статистической связи между двумя исследуемыми компонентами может быть измерена с помощью выборочного коэффициента корреляции /2,14/.

(66)

где   – оценка второго смешанного центрального момента случайной величины (X,Y).  Формально коэффициент корреляции может быть вычислен для любой пары параметров многомерного признака. Однако он является адекватным измерителем степени тесноты лишь линейной статистической связи между анализируемыми признаками, независимо от тенденции связи. Необходимо отметить, что коэффициент корреляции имеет четкий смысл как характеристика степени тесноты связи только в случае совместной нормальной распределенности исследуемых случайных величин X и Y.

Свойства коэффициента корреляции. В общем случае коэффициент корреляции может принимать значения |r|  1. В частности, если |r| = 1 между исследуемыми признаками существует функциональная линейная зависимость. При r = -1 имеет место отрицательная линейная зависимость, при r = 1 – положительная. Если r = 0, то параметры X и Yнекоррелированы. Однако это вовсе не означает, что X и Y независимы, если априори допускается отклонение этой зависимости от линейной. Следовательно, некоррелированность не означает независимости исследуемой пары признаков. В то же время независимость всегда означает и некоррелированность X и Y. При r = 0 необходимо дополнительное статистическое исследование степени отклонения распределения рассматриваемых величин от нормального.

Коэффициент корреляции обладает свойством симметрии, т.е.

r_X,Y = r_Y,X.

Для случая многомерного случайного признака   (р – размерность признака) статистический анализ всех парных связей может быть представлен корреляционной матрицей многомерного признака.

	x(1)	x(2)	. . .	x(p)
x(1)	1		. . .
x(2)		1	. . .
. . .	. . .	. . .	1	. . .
x(p)			. . .	1

 Запомните! Коэффициент корреляции как измеритель степени тесноты парной статистической связи имеет четкий смысл при линейной тенденции связи и совместной нормальной распределенности исследуемых пар параметров многомерного признака.

Парный коэффициент корреляции не учитывает опосредованного или совместного влияния других факторов.

18. Проверка гипотезы о статистической значимости линейной статистической связи. Интервальная оценка парного коэффициента корреляции.

19. Исследование нелинейной зависимости между количественными признаками. Корреляционное отношение.

20. Проверка гипотезы об отсутствии нелинейной корреляционной связи.

21. Ранговая корреляция. Методы ранговой корреляции.

Иногда при исследовании зависимостей имеет место ситуация, когда шкала количественного измерения степени проявления некоторого свойства (признака) отсутствует (неизвестна) или ее просто не может быть. Кроме того возможна ситуация, когда информация имеет условный характер и может быть использована только для ранжирования объектов. Примерами таких процессов могут служить показатели эффективности функционирования различных социально-экономических систем, структура потребительского бюджета семьи, степень прогрессивности предлагаемого на конкурс проекта. В подобных ситуациях вместо конкретных значений исследуемого признака используются его ранги.

Ранговая корреляция отражает статистическую связь между порядковыми переменными.  Исходный статистический материал представлен упорядочениями (ранжировками) n объектов по некоторым свойствам. Методы ранговой корреляции основаны на использовании условной числовой метки, обозначающей место объекта в ряду всех анализируемых объектов, которые располагаются в порядке убывания исследуемого свойства. При этом под условной числовой меткой понимается ранг объекта по исследуемому признаку.

Последовательность рангов элементов вариационного ряда, указывающих на место объекта в ряду, называется ранжировкой.

Под ранговой корреляцией понимается статистическая связь между порядковыми переменными.

Существуют методы и измерители, позволяющие измерить и проанализировать статистическую парную и множественную связь между несколькими параметрами исследуемого многомерного объекта, если они представлены ранжировками.