15. Критерии проверки гипотезы о согласии эмпирического и теоретического распределений. Критерии согласия 2 – Пирсона и Колмогорова-Смирнова. Применимость критериев.

Критерий согласия  ²-Пирсона

Критерий согласия ²-Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны /1, 11, 15/.

Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия.  Критерий согласия ²-Пирсона применим при n  200 и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования должно удовлетворять условию L  8, а количество попаданий в каждый интервал _j должно быть не менее 7-10. В противном случае соседние интервалы необходимо объединить в один, не забывая при этом скорректировать L.  Рассмотрим последовательность критерия согласия ²–Пирсона.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀:   = F_mod(Х;  ),  Н₁:    F_mod(Х;  ).

2-й шаг. Задание уровня значимости .  3-й шаг. Формирование критической статистики

кр. =  ,

(57)

где _j ,   – количество попаданий в каждый j-ый интервал группирования, p_j – теоретическая вероятность попадания в j-ый интервал

pj = Fmod(хj+1;  ) - Fmod(хj;  ).

(58)

Здесь х_j+1 и х_j – соответственно верхняя и нижняя границы текущего интервала группирования.  Предельное распределение статистики  _кр при n имеет вид

,

(59)

где S – количество параметров модельного распределения, согласие с которым проверяется, а ²( _кр ; L - S -1) – функция хи-квадрат распределения с (L - S - 1) числом степеней свободы.  4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек по таблице процентных точек c²-распределения:

_кр.в. = ²_/2100% (L - S - 1),  _кр.н. = ²_{(1-/2)100%} (L - S - 1).

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

расч =  .

(60)

Если выполняется условие

2(1-/2)% (L - S - 1) <  расч  2/2% (L - S - 1),

(61)

то гипотеза о согласии Н₀ верна с ошибкой первого рода . В противном случае гипотеза Н₀ отвергается.  Отвержение гипотезы Н₀ при   _расч. < ²_{/2%} (L - S - 1) на первый взгляд противоречит здравому смыслу /1/. Однако, надо отметить, что  _расч как статистика также является случайной величиной со своей дисперсией. А значит, одинаково неправдоподобными можно считать как слишком большие, так и слишком малые  _расч.  Причинами возникновения слишком малых  _расч могут быть как неудачный выбор F_mod(Х;  ) (например, при искусственном завышении числа параметров модели), так и некорректное проведение эксперимента при деформировании выборки, например, стремление "подогнать" искусственно эмпирические данные под результат. Критерий согласия  ²-Пирсона

Критерий согласия ²-Пирсона позволяет осуществлять проверку гипотезы о согласии, когда параметры модели неизвестны /1, 11, 15/.

Неизвестные параметры модели могут быть заменены в модели их оценками, полученными по выборке, например по методу моментов или методу максимального правдоподобия.  Критерий согласия ²-Пирсона применим при n  200 и требует группирования выборки. При этом число интервалов группирования должно удовлетворять условию L  8, а количество попаданий в каждый интервал _j должно быть не менее 7-10. В противном случае соседние интервалы необходимо объединить в один, не забывая при этом скорректировать L.  Рассмотрим последовательность критерия согласия ²–Пирсона.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀:   = F_mod(Х;  ),  Н₁:    F_mod(Х;  ).

2-й шаг. Задание уровня значимости .  3-й шаг. Формирование критической статистики

кр. =  ,

(57)

где _j ,   – количество попаданий в каждый j-ый интервал группирования, p_j – теоретическая вероятность попадания в j-ый интервал

pj = Fmod(хj+1;  ) - Fmod(хj;  ).

(58)

Здесь х_j+1 и х_j – соответственно верхняя и нижняя границы текущего интервала группирования.  Предельное распределение статистики  _кр при n имеет вид

,

(59)

где S – количество параметров модельного распределения, согласие с которым проверяется, а ²( _кр ; L - S -1) – функция хи-квадрат распределения с (L - S - 1) числом степеней свободы.  4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек по таблице процентных точек c²-распределения:

_кр.в. = ²_/2100% (L - S - 1),  _кр.н. = ²_{(1-/2)100%} (L - S - 1).

5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

расч =  .

(60)

Если выполняется условие

2(1-/2)% (L - S - 1) <  расч  2/2% (L - S - 1),

(61)

то гипотеза о согласии Н₀ верна с ошибкой первого рода . В противном случае гипотеза Н₀ отвергается.  Отвержение гипотезы Н₀ при   _расч. < ²_{/2%} (L - S - 1) на первый взгляд противоречит здравому смыслу /1/. Однако, надо отметить, что  _расч как статистика также является случайной величиной со своей дисперсией. А значит, одинаково неправдоподобными можно считать как слишком большие, так и слишком малые  _расч.  Причинами возникновения слишком малых  _расч могут быть как неудачный выбор F_mod(Х;  ) (например, при искусственном завышении числа параметров модели), так и некорректное проведение эксперимента при деформировании выборки, например, стремление "подогнать" искусственно эмпирические данные под результат. 

Критерий согласия Колмогорова–Смирнова

Критерий согласия Колмогорова–Смирнова позволяет проверить гипотезу о согласии при небольшом объеме выборки, когда F_mod известна полностью, т.е. известны и параметры модели /1, 6, 12, 15/.  Рассмотрим последовательность критерия.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀:   = F_mod(Х;  ),  Н₁:    F_mod(Х;  ).

2-й шаг. Задание уровня значимости .  3-й шаг. Формирование критической статистики.  В критерии Колмогорова–Смирнова для введения меры отклонения эмпирического и модельного распределений используются статистики вида:

;

(62)

Статистики вида   и   являются статистиками Колмогорова и Смирнова соответственно. При этом

.

Известны точные распределения статистик D_n, D⁺_n и D^-_n /13/. Для практических целей обычно достаточно статистики D_n.  Поэтому в качестве  _кр. воспользуемся функцией вида

кр =  .

(63)

А.Н. Колмогоров показал, что если функция F_mod(Х;  ) непрерывна, то распределение  _кр имеет пределом функцию

,

(64)

получившую название функции Колмогорова и не зависящую от вида функции F_mod(Х;  ).  Однако, если F_mod(Х;  ) задана с точностью до неизвестных параметров  , и они оцениваются по выборке /1/, то предельное распределение статистики   уже зависит от F_mod(Х;  ). При этом статистика  _кр будет зависеть только от формы распределения F_mod(Х;  ). Если в модельном распределении есть только параметры сдвига и масштаба, то применимость критерия Колмогорова–Смирнова корректна.  4-й шаг. Из определения функции распределения следует, что при достаточно большом n и любом  _кр > 0 вероятность того, что   примет значение не меньше  _кр, будет иметь вид

тогда  .

(65)

Значение  _кр.в при заданном  можно найти с помощью таблицы функции Колмогорова–Смирнова (65).  Нижняя критическая граница в критерии Колмогорова не используется.  5-й шаг.  _расч определяется из выражения (63) подстановкой значений n и D_n для конкретных эмпирических данных. Если выполняется условие

_расч <  _кр.в,

то гипотеза о согласии эмпирического распределения и модельного принимается.  Критерий согласия Колмогорова–Смирнова может использоваться и при большом объеме выборки. Для этого необходимо выборку представить в группированном виде и значения   и F_mod(Х;  ) определять на границах интервалов группирования.