10. Гипотезы о равенстве дисперсий двух случайных величин (при известных и неизвестных математических ожиданиях).

11. Гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных величин (при известных и неизвестных дисперсиях).

12. Критерии проверки гипотезы об однородности двух или нескольких выборок. Критерий однородности 2.

Если данные представлены в группированном виде, то для проверки однородности можно использовать критерий однородности ².  Пусть имеется две выборки объемами n₁ и n₂. Элементы каждой выборки независимы, непрерывны и сгруппированы в L интервалов. Проверим, принадлежат ли выборки одной генеральной совокупности. Критерий однородности ² применим при n  60 (еще лучше, если выполняется условие n  200) и данные представлены в группированном виде /1, 3/.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: F(х) = F(y), Н₁: F(х)  F(y).

2-й шаг. Задание уровня значимости .  3-й шаг. Формирование критической статистики

_кр =  ,

где _j и  _j – количество попаданий в j-ый интервал группирования соответственно первой и второй выборок. Если n₁ = n₂ = n , то

_кр. =  .

Предельное распределение критической статистики  _кр. стремится к c²-распределению с (L - 1) числом степеней свободы, т.е.

 F( _кр.) = ²( _кр.; L-1),

4-й шаг. Определение верхней критической точки статистического критерия

_кр.в = ²_% (L-1),

где ²_% (L-1) – -процентная точка ²-распределения, которая может быть получена с помощью таблиц процентных точек для c²-распределения. Критерий однородности ² является односторонним. Области неправдоподобно малых значений статистики ² нет. Чем меньше расчетное значение критической статистики, тем более благоприятные условия складываются для принятия гипотезы об однородности двух выборок. 5-й шаг. Определение расчетного значения критической статистики

расч. =  .

(40)

Если

расч. <   кр.в,

(41)

то гипотеза Н₀ верна, в противном случае Н₀ отвергается.  _расч не может быть меньше нуля. 

13. Ранговый критерий однородности Вилкоксона-Манна-Уитни.

Критерий Вилкоксона–Манна–Уитни является ранговым и применяется для проверки однородности двух выборок независимых случайных величин, распределения которых неизвестны. Критерий находит применение при объеме выборки меньше 60, т.к. при больших n возрастает трудоемкость метода. Статистические данные должны быть представлены в негруппированном виде. Здесь возможны два случая. Рассмотрим их последовательно.

Случай А. Пусть имеется две выборки независимых непрерывных случайных величин (n £ 25 для обеих выборок) x_i, i =  , y_j, j =  , где n₁ £ 25, n₂ £25. Рассмотрим последовательность критерия.

1-й шаг. Формирование основной и альтернативной гипотез

Н₀: F(x) = F(y),  H₁: F(x) ¹ F(y),

где F(x) и F(y) – неизвестные непрерывные функции распределения случайных величин X и Y. 2-й шаг. Задание уровня значимости a. 3-й шаг. Формирование критической статистики. Статистика критерия имеет вид

кр =  ,

(42)

где   – ранги элементов выборки меньшего объема (n₁< n₂) в общем вариационном ряду, полученном из двух выборок.  Суммирование рангов R_i осуществляется по элементам меньшей выборки. Предельное распределение статистики  _кр стремится к распределению Вилкоксона–Манна–Уитни. Для принятия решения об однородности двух выборок по критерию Вилкоксона–Манна–Уитни необходимо выполнить следующую последовательность действий.

1. Проанализировать объемы выборок n₁ и n₂, сравнить их между собой. Меньшую выборку будем считать первой. Пусть n₁ – ее объем. 2. Из двух выборок составляем общий вариационный ряд с обозначением рангов вариант. Если в обеих выборках есть одинаковые варианты, то в общем вариационном ряду первыми записываются варианты меньшей (первой) выборки. 4-й шаг. По статистическим таблицам критических точек распределения Вилкоксона–Манна–Уитни /12/ для уровня значимости a найти нижнюю критическую точку

_кр.н = w_a/2 (n₁, n₂),

где w_a/2 (n₁, n₂) – квантиль распределения Вилкоксона. Верхняя критическая точка находится из выражения

кр.в = (n1 + n2 +1) n1 -  кр.н .

или в виде

_кр.в = 2MW -  _кр.н,

где 2MW может быть взято из таблицы для соответствующих n₁ и n₂.  5-й шаг. Вычислить расчетное значение критической статистики

_расч = 

суммированием рангов   вариант первой выборки в общем вариационном ряду. Если выполняется условие

кр.н <  расч <  кр.в ,

то гипотеза Н₀ верна. В противном случае Н₀ отвергается.

Случай Б. Объем хотя бы одной из выборок больше 25. Отличие данного случая от предыдущего состоит только в вычислении  _кр.н. на четвертом шаге проверки гипотезы об однородности. А именно

кр.н = w (a/2, n1, n2) =  ,

где   – квантиль нормального распределения уровня   (находится по статистическим таблицам функции нормального распределения). 

14. Критерии проверки гипотезы о стохастической независимости элементов выборки.

Критерий серий, основанный на медиане

Пусть дана выборка x_i, i =   из некоторой генеральной совокупности. Необходимо проверить случайность и независимость элементов выборки. Для этого воспользуемся критерием серий, основанном на медиане /1/, являющимся ранговым.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.  Н₀: элементы выборки x_i, i =   являются стохастически независимыми,  H₁: элементы выборки x_i, i =   не являются стохастически независимыми.  2-й шаг. Задание уровня значимости a.  3-й шаг. Формирование критической статистики.  Прежде чем определить вид критической статистики, необходимо выполнить следующую последовательность действий.  1. Сформировать из элементов выборки вариационный ряд

х₍₁₎ £ х₍₂₎ £ ... £ х_(i) £ ... £ х_(n).

2. Найти оценку медианы,

= х((n+1)/2), если n нечетно,

(46)

= 0.5 [ х(n/2) + х(n/2+1)], если n четно.

(47)

3. В исходной выборке вместо каждого х_(i) будем ставить "+", если х_(i) >  , "-", если х_(i) <  . Если х_(i) =  , то не ставится никакой знак.  Полученная последовательность "+" и "-" может характеризоваться количеством серий n(n) и длиной самой длинной серии t(n). При этом подсерией понимается последовательность подряд идущих "+" или "-". Серия может состоять только из одного "+" или "-". Длина серии – количество подряд идущих "+" или "-".  В данном критерии одновременно рассматривают пару критических статистик (двумерная критическая статистика)

_кр. =  {n(n), t(n)}.

Предельное распределение статистики  _кр. является двумерным с частными предельными распределениями n(n) и t(n).  4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек распределения осуществляется расчетным путем из выражений

nкр. (n) =  ,

(48)

tкр.(n) = 3.3Чlg(n+1),

(49)

где   – квантиль нормального распределения уровня  .  5-й шаг. Определение расчетных значений критической статистики.  n_расч.(n) определяет количество серий в исходной выборке, а t_расч.(n) – длину самой длинной серии. Если одновременно выполняются условия

nрасч.(n) > nкр.(n),  tрасч.(n) < tкр.(n),

(50)

то Н₀ может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.

Критерий серий "восходящих" и "нисходящих" серий

По аналогии с критерием серий, основанном на медиане выборки, в ранговом критерии “восходящих” и “нисходящих” серий также формируется последовательность серий "+" и "-" /1/. Для этого в исходной выборке из генеральной совокупности x_i, i =   на месте i-го элемента ставят "+", если х_i+1 > x_i, и "-", если х_i+1 < x_i. Если х_i+1= x_i, то в серии ничего не проставляется.  Рассмотрим последовательность критерия.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез.  Н₀: элементы выборки x_i, i =   являются стохастически независимыми,  H₁: элементы выборки x_i, i =   не являются стохастически независимыми.  2-й шаг. Задание уровня значимости a.  3-й шаг. Формирование критической статистики.

_кр. =  {n(n), t(n)}.

Предельное распределение статистики  _кр является двумерным с частными предельными распределениями n(n) и t(n).  4-й шаг. Определение верхней и нижней критических точек

кр.в = n кр(n) =  ,

(51)

кр.н = tкр(n) =

5, при n £ 26  6, при 26 < n £ 153  7, при 153 < n £ 1170 ,

(52)

где   – квантиль нормального распределения.  5-й шаг. Вычисление расчетных значений статистик n_расч(n) и t_расч(n).  n_расч(n) – количество серий в последовательности "+" и "-",  t_расч(n) – длина самой длинной серии.  Если одновременно выполняются условия

nрасч(n) > nкр.(n),  tрасч(n) < tкр.(n),

(53)

то Н₀ может быть принята с ошибкой первого рода. В противном случае элементы выборки нельзя считать стохастически независимыми.

Критерий стохастической независимости Аббе

Если выборка x_i, i =   принадлежит нормальной генеральной совокупности, то для выяснения вопроса о ее случайности предпочтительнее воспользоваться критерием квадратов последовательных разностей (критерий Аббе) /1/.   Критерий Аббе позволяет обнаружить систематическое смещение среднего в ходе выборочного обследования.

1-й шаг. Формулирование основной и альтернативной гипотез:  Н₀: элементы выборки x_i, i =   являются стохастически независимыми,  H₁: элементы выборки не являются стохастически независимыми.  2-й шаг. Задание уровня значимости a.  3-й шаг. Формирование критической статистики

кр =  ,

(54)

где

,

(55)

 – несмещенная оценка дисперсии выборки.  При n Ј 60 предельное распределение критической статистики   затабулировано и представлено в таблицах критических точек распределения Аббе /13/ для различных значений a.  4-й шаг. Определение нижней критической точки осуществляется двумя способами (критерий Аббе – односторонний).  Если n > 60, то

кр.н =   ,

(56)

где   – квантиль стандартного нормального распределения.  При n £ 60  _кр.н находится по статистическим таблицам /13, табл. 1.9/.  5-й шаг. Вычисление расчетного значения критической статистики

_расч =  .

Если  _расч >  _кр.н, то гипотеза о стохастической независимости элементов выборки принимается. В противном случае элементы выборки нельзя считать случайными и независимыми.