Коническая поверхность
Каноническое уравнение 
в
декартовых координатах задаётконическую
поверхность 2-го порядка или, если
короче, конус. Но это опять же
не совсем тот конический колпак, который
всем знаком со времён далёкого детства.
Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями (прежде всего, координатными), и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.
Перепишем уравнение в виде 
и
исследуем сечения конуса плоскостями
,
параллельными плоскости
.
Подставим 
в
уравнение конической поверхности:
Очевидно, что случаю 
соответствует
уравнение 
,
задающее пару
мнимых пересекающихся прямых с
единственной действительной точкой
пересечения в начале координат. Данная
точка называется вершиной конуса.
Если же 
,
то уравнение 
задаёт эллипсыразличных
размеров, причём из последнего уравнения
хорошо видно, что с увеличениемабсолютных
значений «цэ большого» полуоси
эллипсов неограниченно возрастают.
Таким образом, коническая поверхность
бесконечна:
Если
коническую поверхность «разрезать»
произвольной плоскостью
(которая
проходит через ось
),
то в сечении получатся две пересекающиеся
в начале координат прямые. Множество
таких сечений, собственно, и образует
коническую поверхность.
И логично,
что каждая из этих прямых
называется образующей конуса.
На практике почти всегда приходится
иметь дело с упрощенной версией конуса,
когда сечения плоскостями
представляют
собой окружности.
И во многих практических задачах типичен
следующий «опознавательный» вид
уравнения:
–
с «зет» в левой части и равными коэффициенты
при 
и 
.
Как многие догадались, функция 
задаёт
верхнюю часть конуса, а функция 
–
его нижнюю часть.
Распространённая вариация по теме:
Пример 16
Построить поверхность 
Решение: уравнение имеет вид и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?
Возведём обе части исходного уравнения
в квадрат:
Далее выберем небольшое положительное
значение «зет», например
, и
найдём линию пересечения этой плоскости
с нашей поверхностью:
–
окружность радиуса
.
Пояснение на всякий случай: подставили в 1-ое уравнение
Теперь на высоте
изобразим
окружность 
и
аккуратно проведём 4 образующие
конуса:
Образующие,
в принципе, можно было продолжить и выше
плоскости
.
Не забываем, что уравнение задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.
Пожалуй, простейшая коническая поверхность:
Пример 17
Построить коническую поверхность 
.
Записать неравенства, определяющие
внутреннюю и внешнюю часть конуса.
В образце решения изображён фрагмент
конуса, расположенный между плоскостями 
.
Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите
самостоятельно. В случае мучительных
сомнений всегда можно взять точку
(внутри или снаружи конуса) и проверить,
удовлетворяют ли её координаты
неравенству.
В заключение статьи подробно рассмотрим ещё одну мегапопулярную поверхность: