Работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда по цепи называется электродвижущей силой (эдс)

Единицей измерения эдс является вольт .

Стороннюю силу ,действующую на заряд q ,можно представить в виде:

= ,

где -напряженность поля сторонних сил.

Работа сторонних сил на участке 1-2(Рис1) равна

.

Аналогичный интеграл, вычисленный для замкнутой цепи, даст эдс действующую в этой цепи:

.

Следовательно, можно утверждать, что эдс, действующая в замкнутой цепи, равна циркуляции вектора напряженности сторонних сил.

Кроме сторонних сил, на заряд действуют еще силы электростатического поля .

Результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд q, равна

.

Работа этой силы на участке 1-2 определяется выражением

.

Величина, равная работе, совершаемой электростатическим сторонними силам при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением (падением напряжения).

На основании экспериментальных данных Ом установил, что по однородному участку электрической цепи (на участке нет эдс) течет ток, сила которого пропорциональна напряжению на концах проводника и зависит от свойств самого проводника

- закон Ома для участка цепи.

Величина R называется электрическим сопротивлением проводника и характеризует способность проводника препятствовать прохождению электрического тока.

Единицей измерения сопротивления в системе СИ является Ом .

1 Ом – это сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1В течет ток силой 1 А.

Сопротивление проводника зависит от свойств материала, из которого изготовлен проводник, его размеров формы.

Сопротивление цилиндрического проводника равно:

где -длина проводника, S- площадь его поперечного сечения, - удельное сопротивление, зависящее от свойств проводника.

В изотропном проводнике упорядоченное движение носителей тока происходит в направлении вектора напряженности поля . Выделим в проводнике элементарный участок . Его сопротивление равно

Выразим силу тока через плотность тока .

.

Поскольку поле в проводнике однородно, то .

Подставим всё в закон Ома

В результате получим:

= называется удельной проводимостью материала.

Считая, что вектора и в элементе имеют одинаковое направление можно записать

-закон Ома в дифференциальной форме.

Рис.2.

При соединении n-проводников в электрическую цепь последовательно

общее сопротивление такой цепи равно:

Рис.3.

При параллельном соединении этих проводников

их общее сопротивление можно определить из соотношения:

Для большинства металлических проводников при температурах, близких к комнатной, удельная проводимость изменяется пропорционально абсолютной температуре

или ,

Рис.4.

где - удельное сопротивление при , коэффициент численно равный 1/273, и T – температуры по Цельсию и Кельвину соответственно.

При низких температурах наблюдается отступление от этой зависимости. Для большинства металлов удельное сопротивление изменяется согласно Рис 4(кривая 1). Однако есть вещества у которых при температурах порядка нескольких градусов Кельвина сопротивление скачком обращается в нуль (рис 4,кривая 2).Это явление было обнаружено Камерлингом в 1911 году и названо сверхпроводимостью.

При прохождении тока по проводнику последний нагревается. Джоуль и Ленц независимо друг от друга экспериментально установили, что количество выделяющегося тепла в проводнике при прохождении электрического тока пропорционально его сопротивлению, квадрату силы тока и времени прохождения.

- Закон Джоуля-Ленца.

Если сила тока меняется по некоторому закону, то

Чтобы объяснить нагревание проводников при прохождении электрического тока, рассмотрим однородный проводник, к которому приложено напряжение U .За время dt через каждое сечение проводника проходит заряд , что равносильно тому, что этот заряд переносится из одного конца проводника в другой. При этом силы поля совершают работу

=

Заменив U в соответствии с законом Ома и интегрируя по времени получим:

.

Таким образом, нагревание проводника происходит за счет работы, которую совершают силы поля над носителями заряда.

Если в закон Джоуля-Ленца вместо силы тока I ввести плотность тока j, то получим:

,

где dV- элементарный объём.

Количество тепла, выделившееся в единице объёма в единицу времени называют удельной мощностью тока

Подставив в полученное соотношение закон Ома в дифференциальной форме, получим:

это закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Закон Ома в форме, отмеченной звездочкой , справедлив только для участка, на котором не действует эдс.

Рис.5.

Если в цепи действует эдс Рис 5, то чтобы получить закон Ома для такого неоднородного участка цепи воспользуемся законом сохранения энергии. Т.Е. работа всех сил (электростатических и сторонних) совершающих перенос заряда dq по неоднородному участку цепи должна быть равна выделившемуся количеству тепла.

Работа по переносу заряда dq равна

За время dt на участке выделится тепло, равное

Приравняв эти два выражения, получим:

или

,

где R- полное сопротивление неоднородного участка цепи.

Итак, на неоднородном участке кроме электростатических сил действуют еще сторонние силы, поэтому результирующая напряженность поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, созданных электростатическим и сторонними силами.

Соответственно, плотность тока оказывается пропорциональна результирующей напряженности

- закон Ома для неоднородной цепи в дифференциальной форме.

Расчёт разветвленных цепей значительно упрощается. Если пользоваться правилами Кирхгофа. Этих правил два.

Первое из них относиться к узлам цепи.

Рис.6.

Узлом цепи называется точка, в которой сходятся три и более проводника. Рис 6. и оно гласит, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, или, в конечном счёте, из закона сохранения заряда. Ток подходящий к узлу считается положительным, текущий от узла отрицательным, или наоборот.

Рис.7.

Второе правило относится к любому выделенному в разветвлённой цепи замкнутому

контуру Рис 7. Это правило формулируется следующим образом:

Сумма падений напряжений в замкнутом контуре всегда равна алгебраической сумме действующих в цепи эдс.

Выберем направление обхода контура, например, по часовой стрелке.

Токи, текущие в направлении обхода, будем считать положительными; несовпадающие – отрицательными. Знак эдс определяется таким же образом. Если при обходе контура переход осуществляется от минуса к плюсу, то эдс имеет положительный знак, если от плюса к минусу – отрицательный.

Для примера составим уравнения для контуров, изображенных на Рис 7.

контур 1-2-3-6-1

контур 3-4-5-6-3

контур 1-2-4-5-1

Число независимых уравнений, составленных в соответствии с первым и вторым правилами Кирхгофа всегда равно числу токов, текущих по разветвленным участкам цепи.

Электрическая цепь, как правило, состоит из источника тока, подводящих проводов и нагрузки. Каждый из этих элементов цепи обладает сопротивлением. Сопротивление подводящих проводов обычно очень мало, поэтому мы будем им пренебрегать. Тогда закон Ома для замкнутой цепи, в которой есть источник тока, будет иметь вид:

,

где r – сопротивление источника тока.

Напряжение на нагрузке, совпадающее с напряжением на клеммах эдс, равно

И будет меньше, чем . При ( цепь разомкнута) U делается равным .

Тогда для разомкнутой цепи работа по переносу заряда равна

.

При этом мощность, развиваемая источником тока (эдс) получится равной

.

Подставив закон Ома для замкнутой цепи, получим полную мощность

.

На нагрузке выделяется только часть этой мощности, которую называют полезной:

.

Коэффициентом полезного действия (кпд) называют отношение полезной мощности к полной мощности развиваемой источником тока

.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ЛЕКЦИЯ 5.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

1. Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара- Лапласа.

2. Расчет индукции магнитного поля токов правильной формы.

3. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

В 1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка, расположенная вблизи проводника с током, отклоняется от своего первоначального направления. Причём, угол и направление отклонения зависели от направления величины силы тока в проводнике.

Позже Ампер экспериментально установил, что на элемент проводника с током в магнитном поле действует сила равная

- закон Ампера,

где - характеристика магнитного поля, называемая индукцией.

На элемент проводника с током I в магнитном поле действует сила прямо пропорциональная силе тока в проводнике и индукции магнитного поля.

Магнитное поле – вид материи, неразрывно связанный с движущимся зарядом, посредством которого передается взаимодействие между токами. Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми, и вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к ней. Направление вектора связано с направлением тока, создавшим это поле, правилом правого винта.

Рис.1

Для определения физического смысла вектора индукции магнитного поля введем понятие «пробный контур с током». Такой контур представляет собой круговой виток, площадь, которого мала и равна единице площади, и сила тока также равна единице.

Основной характеристикой такого контура является магнитный момент , который равен:

,

где I –сила тока в контуре; S – его площадь; - единичный вектор нормали к поверхности контура.

За положительное выбрано направление нормали, связанное с направлением силы тока правилом правого винта.

Поместим такой контур в магнитное поле. В любой точке этого поля контур будет разворачиваться так, чтобы его магнитный момент был направлен параллельно вектору магнитной индукции . Т.е., на контур будет действовать вращательный момент .

Рис.2

Вектором индукции магнитного поля называют векторную физическую величину, которая показывает какой максимальный вращательный момент, действует на пробный единичный контур с током, помещенный в данную точку поля.

( тесла)

Жан Батист Био и Феликс Савар, изучая топографию полей, созданных токами различной формы, установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока в проводнике и зависит от расстояния между током и точкой, в которой определяется индукция магнитного поля.

Лаплас обобщил их экспериментальные результаты и вывел математический закон, определяющий величину магнитной индукции, создаваемой элементарным участком проводника с током. Рис.3

- Закон Био-Савара- Лапласа,

Или скалярной форме

где - магнитная постоянная, равная Гн/м,

- угол между векторами и .

Используем закон Био-Савара-Лапласа для расчета индукции магнитного поля, создаваемых проводниками с током правильной формы.

А) Поле прямого тока .

Пусть поле создано прямым проводником, по которому течет ток I. В точке А любой элемент проводника создает магнитное поле, вектор магнитной индукции которого лежит в плоскости перпендикулярной чертежу и направлен от нас за чертеж.

Рис.4

Это дает нам право заменить векторное сложение скалярным, т.е.

.

По закону Био-Савара-Лапласа

.

Из чертежа следует, что

;

Из треугольника, образованного векторами и , можно получить, что

Подставив и в закон Био-Савара-Лапласа, получим

.

Проинтегрировав по углу от до , получим:

Если проводник бесконечен, то , а .

Б) Поле кругового тока.

Определим чему равен вектор магнитной индукции поля, созданного круговым током, в точке, лежащей на оси кольца.

Рис. 5

Очевидно, что , создаваемый любым элементом , лежит в плоскости, проходящей через и и перпендикулярен ей. Всё семейство векторов образует конический веер. Каждый вектор можно разложить на две составляющие: -проекция вектора на направление перпендикулярное оси кольца; - проекция на ось кольца. Очевидно, что =0, так как каждому элементу найдётся другой элемент, создающий поле вектор магнитной индукции которого будет направлен в противоположную сторону.

В результате, индукция магнитного поля в точке А будет определяться только .

Из Рис.5 следует, что

где , так как 90

После интегрирования получим

Если , то

В) Поле движущегося заряда

Как известно, ток это направленное движение заряженных частиц. Любой ток создаёт магнитное поле. Следовательно, каждый движущейся заряд должен создавать своё магнитное поле.

Найдём, чему равна индукция магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом. Для этого сделаем следующие преобразования в законе Био-Савара-Лапласа:

,

где j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника с током, - вектор, соединяющий движущийся электрон с точкой наблюдения.

Такие замены возможны, поскольку и вектор параллелен вектору .

,

где е – заряд электрона, n – концентрация носителей заряда (электронов), -скорость направленного движения электронов в проводнике.

Общее число электронов в элементе проводника , которые создают магнитное поле равно , поэтому

,

тогда , индукция магнитного поля, созданного одним электроном равна:

.

В случае, если любая частица с зарядом движется со скоростью , то будет равна:

а) Теорема о циркуляции

Назовем циркуляцией вектора магнитной индукции по замкнутому контуру выражения вида:

,

где - проекция вектора на направление , проекция вектора на направление .

Рассмотрим контур, охватывающий прямой проводник с током I.

Рис.6

Ток направлен от нас за чертёж . Вычислим для этого контура циркуляцию В каждой точке контура направлен по

гаправлен по касательной В каждой точке контура 000000000000000000000000000000 касательной к вписанной окружности, центр которой совпадает с проводником с током. Выделим на контуре элемент dl. В данном случае: где R- радиус вписанной окружности, - угол на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль отрезка dl.

Учитывая, что поле создаёт прямой бесконечный проводник, то .

Тогда

.

При обходе контура угол меняется от 0 до 2

Пусть теперь выбранный нами контур не охватывает проводник с током.

Рис 7

Теперь при обходе контура радиальная прямая сначала будет поворачиваться

в одном направлении от точки 1 до точки 2, а затем в обратном направлении от точки 2 до точки 1.

В результате

Можно показать, что полученные соотношения справедливы для проводников различной формы.

Если же контур будет охватывать несколько токов, то

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых данным контуром, умноженной на магнитную постоянную .

Знак токов определяется по правилу правого винта.

Доказанная теорема позволяет утверждать, что магнитное поле не является потенциальным, силы в нем действующие не консервативны. Силовые линии такого поля замкнуты и его называют вихревым.

б) Индукция магнитного поля бесконечного соленоида.

Бесконечным будем называть соленоид, у которого длина намного превышает диаметр.

Пусть по соленоиду течет ток силой I. В любой точке бесконечного соленоида и вне его будем считать, что вектор индукции параллелен его оси.

Рис 8

Выделим контур 1-2-3-4 таким образом, чтобы участок 1-2 лежал на оси соленоида,

Участки 2-3 и 4-1 были бесконечно длинными и располагались перпендикулярно его оси. Тогда участок 3-4 будет находиться в бесконечности.

Циркуляцию вектора по контуру 1-2-3-4 представим в виде суммы 4-х слагаемых:

.

2-ой и 4-ый интегралы будут равны нулю, т.к. и взаимно перпендикулярны и, следовательно, проекция вектора индукции на направление будет равна нулю.

Третий интеграл тоже можно считать равным нулю, поскольку этот участок лежит в бесконечности, где поля нет.

На основании теоремы о циркуляции вектора получим, что

=

где I- сила тока в соленоиде, = - число витков на участке 1-2, n – число витков на единице длины и - длина участка 1-2.

Вектор и на участке 1-2 совпадают по направлению, поэтому .

Окончательно получим:

Рис.9

Можно показать, что если соленоид имеет конечную длину Рис.9, то индукция магнитного поля на его оси равна:

,

ЛЕКЦИЯ 6.

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ.

1. Движение электрического заряда в магнитном поле. Эффект Холла.

2. Рамка с током в магнитном поле.

3. Магнитный поток. Механическая работа в магнитном поле.

а) Сила Лоренца.

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера

,

где длина элемента проводника в магнитном поле,

индукция магнитного поля,

I – сила тока в проводнике.

По определению сила тока равна .

За время через поперечное сечение проводника приходит n частиц

.

Тогда на одну частицу будет действовать сила равная:

.

В случае движения любой частицы с зарядом q в магнитном поле на неё будет действовать сила

- сила Лоренца.

В скалярной форме , где - угол между векторами и .

Направление силы Лоренца , скорости движения частицы и индукции магнитного поля связаны между собой правилом левой руки.

Рис 10

б) Эффект Холла.

Если проводник с током жестко закреплён в магнитном поле, то он не сможет перемещаться в пространстве под действием силы Ампера. Однако, каждый электрон будет испытывать действие силы Лоренца.

Пусть в магнитном поле находится жёстко закрепленный проводник прямоугольной формы толщиной (пластина), по которому течёт ток I. Магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости чертежа будет создавать силу, прижимающую электроны к

нижней грани пластины.

Рис11

В результате у верхней грани пластины возникает некомпенсированный положительный заряд. Это приведёт к возникновению между верхней и нижней

гранями разности потенциалов.

Этот эффект был открыт в 1879 году Холлом, который установил, что возникающая разность потенциалов зависит от плотности тока в пластине j , индукции внешнего магнитного поля B, ширины проводника .

.

R- коэффициент пропорциональности, зависящий от природы проводника и называемый константой Холла.

Открытый Холлом эффект используется в приборах для измерения индукции магнитного поля и позволяет определить концентрацию и подвижность носителей тока в проводнике.