Вопросы для защиты задачи

1. Какое движение тела называется плоским и как оно задается?

2. Как определить скорость любой точки плоской фигуры?

3. Способы определения мгновенного центра скоростей.

4. Как определить скорость любой точки плоской фигуры, если известен мгновенный центр скоростей?

5. Как определить ускорение любой точки плоской фигуры

Третий раздел теоретической механики «Динамика» Задача 5.Динамика точки.

Материальной точке сообщается начальная скорость v₀ = 7 м/с, в результате чего она проходит по горизон­тальной шероховатой плоскости расстояние l = 10,1 м и падает с нее. Коэффициент трения скольжения f = 0,2. Определить скорость v, длину полета L, глубину падения Н точки в мо­мент t = 5 с после начала движения. Сопротивление среды не учитывать (рис. 51).

Рис. 51 Рис. 52

Решение. Рассмотрим движение точки на прямолинейном участке АВ (рис. 52). Определим скорость точки в кон­це этого участка. Начало осей коор­динат совместимо с началом движе­ния. Начальные условия при t = 0 имеют вид

На основании принципа освобождаемости от связей рассматриваем точку как свободную, на которую действует сила тяжести mg, нормальная ре­акция N и сила трения F_mp.

Дифференциальные уравнения движения материаль­ной точки в декартовых осях:

,

в данном случае с учетом того, что и , принимают вид

Отсюда N = mg. Используя закон Кулона для силы трения F_mp = fN, получаем F_mp = fmg. Тогда

. (*)

Разделим переменные t и v_x в уравнении (•) и проин­тегрируем его, пользуясь неопределенными интегралами

.

Учитывая начальное условие, определим постоянную интегрирования С₁ = v₀. Тогда формула изменения скоро­сти точки на участке АВ принимает вид

. (**)

Если же пользоваться определенными интегралами, то необходимость в постоянной интегрирования отпадает. Из (*) получаем

.

Здесь нижние пределы интегралов соответствуют на­чальным условиям, а верхние — произвольному моменту времени.

Из последнего уравнения находим , дела­ем подстановку и получаем то же решение: .

Для того чтобы вычислить время t₁ преодоления ма­териальной точкой пути АВ и ее скорость в момент про­хождения точки В, необходимо использовать условие |АВ| = l = 10,1 м.

При этом возможны два варианта дальнейшего реше­ния задачи.

1. Перепишем уравнение (**), учитывая, что v_x =dx/dt,

.

Разделив здесь переменные и проинтегрировав (напри­мер, с использованием определенных интегралов) это уравнение, получим

,

откуда

.

Из последнего уравнения можно определить время, когда величина х будет равна l. Решая квадратное уравне­ние или , отыски­ваем два значения: t с и t₁ = 5,1 с. Второе значение времени физически не реализуется, так как предполагает дальнейшее движение точки по горизонтали, а затем воз­врат ее в точку B, что невозможно, поскольку после точки В материальная точка перестает взаимодействовать с по­верхностью и начинает падать.

Таким образом, время t₁ = 2 с и, подставляя его в фор­мулу (**), находим скорость точки в конце участка АВ: м/с.

Рассмотрим далее криволи­нейное движение точки на участ­ке ВС (рис. 53). Начало отсчета времени совме­стим с моментом начала падения. Начальные условия в выбранных осях координат принимают вид:

при t = 0

х = 0; = 3,1 м/с; у = 0; = 0.

Рис. 53

На точку действует только сила тяжести mg. Запи­шем дифференциальные уравнения движения точки:

,

или

.

Разделив переменные и проинтегрировав эти уравне­ния, получим

v_x =C₃; v_y =gt + C₄.

В соответствии с начальными условиями постоянные интегрирования равны С₃ = v₁ и С₄ = 0.

Тогда имеем v_x = v₁ = const, v_y = gt.

Рассматриваемое время свободного падения точки, от­считываемое от положения В, равно t₂ = t – t₁ = 3 с.

Вычислим скорость v₂ точки в момент t₂ = 3 с (поло­жение С на траектории)

v_2x =v₁= 3,1 м/с; v_2y = gt₂ = 29,4 м/с;

м/с.

Дифференциальные уравнения движения точки на уча­стке ВС представим в следующем виде:

.

Разделяя переменные и интегрируя эти уравнения, получаем

.

Постоянные интегрирования определяем по заданным начальным условиям (при t = 0 х = 0; у = 0), а именно: С₅ = С₆ = 0.

Уравнения движения точки имеют вид х = v₁t, у =gt²/2.

При заданном t₂ = 3 с находим дальность полета L = x(t₂) = 9,3 м и глубину падения Н = y(t₂) = 44,1 м.

Ответ: v = 29,6 м/с; L = 9,3 м; Н = 44,1 м.

№ вар.	v0	l	f	t
1	5	8	0,2.	6
2	6	8,1	0,2.	7
3	7	8,2	0,2.	8
4	8	8,3	0,2.	9
5	9	8,4	0,2.	10
6	10	8,5	0,2.	11
7	11	8,6	0,2.	12
8	12	8,7	0,2.	13
9	13	8,8	0,2.	14
10	14	8,9	0,2.	15
11	15	9	0,2.	16
12	16	9,1	0,2.	17
13	17	9,2	0,2.	18
14	18	9,3	0,2.	19
15	19	9,4	0,2.	20
16	20	9,5	0,2.	19
17	21	9,6	0,2.	18
18	22	9,7	0,2.	17
19	23	9,8	0,2.	16
20	24	9,9	0,2.	15