Задача 2. Равновесие твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил

Горизонтальный вал весом G = 15 Н может вращаться в цилиндрических шарнирах А и В (рисунок 5.1). К шкиву 1 приложено нормальное давление N и касательная сила сопротивления F = 0,1N.

Рисунок 5.1

На шкив 2 действуют силы натяжения ремней Т₁= Н, Т₂ = Н. Груз Q = Н висит на нити, навитой на шкив 3. Определить силу давления N и реакции шарниров в условии равновесия вала. Учесть веса шкивов: Р₁ = Н, Р₂ = Н, Р₃ = Н. Все нагрузки действуют в вертикальных плоскостях. Известны радиусы шкивов, R₁= 26 см, R₂ = 10 см, R₃ = 11 см и расстояния между характер­ными точками вала: а = 22 см, b = 25 см, с = 26 см, d = 26 см. Общая длина вала L = a + b + c + d; α =30°.

Решение.

1. Действие цилиндрических опор А и В заменим реакциями Z_A, Х_А и Z_B, Х_В (рисунок 6.1). Вес вала G приложим в центре. Вес груза изобразим вектором Q.

Рисунок 6.1

2. Для определения силы давления составляем уравнение моментов относительно оси вала:

.

Уравнение содержит одну неизвестную F. Линии действия остальных сил пересекают ось у и их моменты относительно оси вала равны нулю.

Из полученного уравнения находим

По условию N = F/0,1 = Н.

3. Определяем вертикальные реакции шарнирных опор вала. Для этого составляем два уравнения моментов относительно горизонтальных осей, проходящих через шарниры А и В. Рассматриваем для удобства проекцию всех сил на плоскость zy (рисунок 7.1). Таким образом, вычисление моментов относительно осей сводим к плоской задаче вычисления моментов относительно точек А и В.

Знаки моментов сил определяем как в задачах плоской статики: момент силы, вращающей тело вокруг моментной точки против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке — отрица­тельным. Моменты сил, перпендикулярных плоскости zy (и поэтому не изображенных на рисунке 7.1), относительно любой ее точки равны нулю.

Рисунок 7.1

Решая уравнения

находим Z_A= H, Z_B = H.

4. Проверяем правильность нахождения вертикальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось z (рисунок 7.1):

5. Определяем горизонтальные реакции опор вала. Для этого со­ставляем два уравнения моментов относительно осей, совпадающих с линиями действия вертикальных реакций шарниров. Рассматриваем горизонтальную проекцию силовой схемы (рисунок 8.1):

Решая уравнения, находим Х_А = Н, Х_В = Н.

6. Проверяем правильность нахождения горизонтальных реакций, составляя уравнение равновесия в проекции на ось х вдоль линии действия горизонтальных реакций:

Рисунок 8.1

Результаты расчетов в Н заносим в таблицу:

N	XA	ZA	XB	ZB

№ вар.	G = Н	Т1= Н	Т2 = Н.	Q = Н	Р1 = Н	Р2 = Н,	Р3 = Н
1	20	20	50	15	30	10	20
2	21	21	51	16	31	11	21
3	22	22	52	17	32	12	22
4	23	23	53	18	33	13	23
5	24	24	54	19	34	14	24
6	25	25	55	20	35	15	25
7	25	26	56	21	36	15	26
8	26	27	57	22	37	17	27
9	27	28	58	23	38	18	28
10	28	29	59	24	39	19	29
11	29	30	60	25	40	20	30
12	30	31	61	26	41	21	31
13	31	32	62	27	42	22	32
14	32	33	63	28	43	23	33
15	33	34	64	29	44	24	34
16	34	35	65	30	45	25	35
17	35	36	66	31	46	26	36
18	36	37	67	32	47	27	37
19	37	38	68	33	48	28	38
20	38	39	69	34	49	29	39

Вопросы для защиты задачи

1.Условия и уравнения равновесия пространственной произвольной системы сил.

2. Что такое момент силы относительно оси?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

4. Типы связей и их реакции.

5.Задачи статики.

Второй раздел теоретической механики «КИНЕМАТИКА»

Задача 3. Определение кинематических характеристик

поступательного и вращательного движений твердого тела

Груз 1 (рис. 12.10), опускаясь, согласно уравнению s = 3 +15, где s - расстояние груза от места схода нити с поверхности вала в сантиметрах; t - время в секундах, приводит в движение колесо 2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.

Пренебрегая скольжением ремня по ободам колес, определить для момента времени =1 с скорость и ускорение рейки 4, угловые скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение точки А, если =30 см; =50 см - радиусы ступеней колеса 2; =40 см; =60 см - радиусы ступеней колеса 3.

Дано: ; =30 см; =50 см; =60 см.

Определить: при с.

1. Найдём , . Зная уравнение движения груза 1, определим его скорость как функцию времени = = 9 . Груз подвешен на нерастяжимом канате, поэтому скорость груза 1 такая же, как скорости точек на ободе колеса 2 радиуса , т.е. . Найдем как функцию времени:

. (а)

Так как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей (ремень нерастяжим), то , но ; .

,

поэтому

. (б)

При t=1 с из (а) и (б) найдем = 0,3 рад/с; =-,25 рад/c.

2. Определим . Так как = , то при =1 с имеем =10 см/c.

3. Найдем . Продифференцируем по времени выражения (а), (б):

; . При =1с =0,5 рад/ .

4. Найдем . Рейка 4 движется поступательно, поэтому все её точки имеют одинаковые ускорения. Точка D одновременно принадлежит рейке 4 и ободу колеса 3 радиуса , поэтому ; при =1с и =20 см/

5. Найдем ускорение точки А, используя формулу ; .

При =1с и =30 см/ ; =4,5 см/ ;

см/ .

№ вар.	s	R2	r2	R3	r3	t1
1	S=3t3+10	50	30	60	41	1,5
2	S=4t3+11	51	31	61	40	1
3	S=2t3+12	52	32	62	42	1,6
4	S=3t3+13	53	33	63	43	1,7
5	S=4t3+14	54	34	64	44	1,8
6	S=t3+15	55	35	65	45	1,9
7	S=2t3+16	56	36	66	46	2
8	S=3t3+17	57	37	67	47	3
9	S=2t3+18	58	38	68	48	2,5
10	S=2t3+19	58	39	69	49	3,5
11	S=2t3+20	60	40	70	50	4
12	S=2t3+9	61	41	71	51	4,5
13	S=2t3+8	62	42	72	52	5
14	S=2t3+7	63	43	73	53	5,5
15	S=2t3+6	64	44	74	54	6
16	S=2t3+5	65	45	75	55	6,5
17	S=2t3+4	66	46	76	56	7
18	S=2t3+3	67	47	77	57	7.5
19	S=2t3+2	68	48	78	58	8
20	S=2t3+10	69	49	79	59	8,5