1. Распространение радиоволн в идеальном однородном диэлектрике

В такой среде ,  = Const,  =  = 0. Модель наиболее близка к распространению в нейтральной атмосфере. Для воздуха можно полагать, что магнитная проницаемость  = ₀ = 410^7 Гн / м, а диэлектрическая проницаемость  = ' ₀ (₀ = 8,8510^12 Ф / м,   относительная диэлектрическая проницаемость). Тогда система (1.1) принимает вид

(1.2)

Выведем уравнение, описывающее распространение радиоволн в такой среде. Применим к двум первым уравнениям (1.2) операцию rot:

Получаем два дифференциальных уравнения второго порядка:

, (1.3)

Будем полагать, что ток в излучающей антенне меняется по гармоническому закону, т. е. E, H  Cos t (  круговая частота), или в комплексной форме . Из представления напряжённости электрического поля E(r,t) = E(r)e^it следует, что , аналогичное соотношение получается и для H. Подстановка в (1.3) даёт

, (1.4)

где введено обозначение .

Из электродинамики известно, что физически корректным и математически точным решением волнового уравнения вида (1.3) является распространяющаяся от источника сферическая волна, амплитуда которой (r – расстояние от излучателя). При решении многих задач распространения рассматриваются плоские радиоволны, которые определяются следующим образом: электромагнитная волна называется плоской, если вектор напряженности электрического (магнитного) поля имеет одну и ту же величину во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такая плоскость, следовательно, является и поверхностью равных фаз.

Пусть плоская радиоволна распространяется вдоль оси Ox, т. е. E = E(x,t), H = H(x,t). После подстановки этих представлений в (1.4) и сокращения на временной множитель e^it получим

. (1.5)

Нетрудно проверить, что решения уравнений (1.5) для волны, распространяющейся в положительном направлении Ox, имеют вид

E(x) = E_me^ikx, H(x) = H_me^ikx, (1.6)

где E_m и H_m  амплитуды полей. Таким образом, решения уравнений (1.4) для заданных условий имеют вид:

. (1.7)

Из (1.7) следует, в частности, что поля E и H в распространяющейся волне синфазны.

Освободиться от специального выбора системы координат можно, используя волновой вектор k = kn (n – единичный вектор, направленный по пути распространения радиоволны). Если r – радиус-вектор точки на поверхности фронта волны (рис. 1.1), то расстояние от т. О до фронта равно nr, и решения (1.3) можно представить в следующей форме:

, . (1.8)

Справедливость (1.8) нетрудно проверить подстановкой в уравнения (1.3).

Выражения (1.8) описывают монохроматическую волну, т. е. волну, векторы напряженности которой меняются во времени по гармоническому закону с одной определенной частотой.

Найдем скорость распространения радиоволны как скорость перемещения ее фронта (рис.1.1). На такой поверхности фаза  = t – kr = t – knr = Const, следовательно,

(1.9)

здесь r_фр – проекция r на направление перемещения фронта волны.

Из (1.9) следует, что , где .

Определим ориентацию векторов E и H волны относительно направления распространения и между собой. Векторные операции в (1.2) можно выразить с помощью оператора :

divE = E, rotE = [, E], divH = H, rotH = [, H].

Применим  к экспоненте в (1.8). Поскольку kr = k_xx + k_yy + k_yz, то e^{i(t - kr)} = e^it e ^ikr = e^it(ik)e ^ikr = ik e^{i(t  kr)}. Тогда два последних уравнения системы (1.2) можно записать как

divE = E = i(kE) = 0, divH = H = i(kH) = 0. (1.10)

Из (1.10) следует, что векторы E и H перпендикулярны волновому вектору k, а, следовательно, и направлению распространения волны.

Проанализируем теперь второе уравнение системы (1.2).

. (1.11)

Но , тогда после сокращений получим

. (1.12)

Из (1.12) следует, что векторы E и H взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения правостороннюю тройку векторов.

Если, используя представление (1.8), взять модуль от обеих частей (1.12) и учесть, что n = 1, e^i… = 1, то

,

т. е. отношение величин амплитуд полей волны

, (1.13)

Пусть в декартовой системе координат плоская радиоволна распространяется вдоль оси Оx, а вектор E направлен вдоль Оz (рис. 1.2). Компоненты поля в тригонометрической форме будут иметь следующий вид:

(1.14)

(1.15)