2. Дослідження системи шляхом лінеаризації

2.1 Суть методу лінеаризації

Лінеаризація - це метод дослідження нелінійних систем шляхом наближен­ня їх лінійними системами. При цьому досліджують систему не в цілому діапазоні можливих змін вхідних та керуючих величин, а при невеликих їх відхиленнях від номінального режиму роботи системи - стану рівноваги. Лінеаризована модель системи - це наближення до нелінійної математичної моделі, одержаної, як пра­вило, аналітичним методом. Зрозуміло, що лінеаризована модель системи є менш точною порівняно з нелінійною математичною моделлю. Але лінійні системи мають ряд переваг над нелінійними системами, окрім простого розв'язку вони володіють властивостями комутативності, суперпозиції та однорідності, що знач­но полегшує і розширює діапазон досліджень.

Для зменшення похибок, які з'являються за рахунок лінеаризації системи, її лінеаризують в околі номінальних значень параметрів стану системи (в стані рівноваги) і досліджують реакцію системи на незначне збурення.

Лінеаризують систему шляхом розкладу нелінійної функції залежності параметру стану у(t) в ряд Тейлора в околі номінальних значень параметру стану:

(2.1)

де - відхилення параметра стану від номінального значення;

- відхилення вхідної величини від номінального значення;

- залишковий член, яким при малих відхиленнях вхідної величини можна нехтувати, оскільки його складові - це малі величини вищого порядку.

Отже, після лінеаризації маємо:

(2.1΄)

2.2 Лінеаризації системи відносно стану рівноваги

Запишемо систему (1.5) у вигляді

(2.2)

де

Лінеаризована система диференційних рівнянь матиме вигляд:

(2.3)

або

(2.4)

вихідні величини : y₁(t)=h1 (t)

Часткові похідні правих частин системи нелінійних диференційних рівнянь (2.2) беру по всіх параметрах стану, а також по тих вхідних величинах, відхилення яких від номінального режиму задане в завданні на курсову роботу:

В матричній формі лінеаризована система диференціальних рівнянь матиме вигляд:

, (2.5)

де - матриця стану системи; - вектор вхідних величин;

;

- вектор параметрів стану системи; - сигнал збурення.

Коефіцієнти матриці стану системи та вектора вхідних величин обчислюю наступним чином:

Для обчислення коефіцієнтів власної у матриці системи та вектора вхідних величин складаю програму liner.m:

zapnuli;

%liner

h1=yy(1); h2=yy(2);

dani;

a11=(-1/S)*kv*l0*0.5*g*sqrt(1/(g*h1));

a21=(1/S)*kv*l0*0.5*g*sqrt(1/(g*h1));

a22=-k*(1/S)*g;

b11=-kv*sqrt(g*h1)*(1/S);

b21=kv*sqrt(g*h1);

a=[a11 0 ;

a21 a22 ];

b=[b11;b21];

c=[1 0];

d=[0];