1. Побудова математичної моделі та числове її дослідження.

1.1 Побудова математичної моделі.

Конструктивні параметри:L₂=5м, r₂=0.06м,

k_B=0.015, d=0.25м.,Q=0.015,w=1000;

Вхідні величини: P2=0Па,

T=290 К,

Керуючі величини: l₁=0.7

Значення збурення: .

Параметри стану об’єкту:h1,h2,T1,T2.

Вихідні величини: h2,T2.

Математична модель об'єкту - це система математичних співвідношень (диференціальних, інтегральних, алгебраїчних рівнянь та нерівностей, емпірич­них залежностей тощо) з відповідними початковими та граничними умовами, яка математично описує окремі фізичні та інші явища з врахуванням впливу зовніш­нього середовища.

Математичну модель будують на формальному описі всіх елементів та процесів, які мають місце в об'єкті.

В основу побудови математичної моделі об'єкту покладено закони збереження маси та енергії.

Структурна схема нелінійної моделі.

1.2 Числове дослідження математичної моделі.

Знаходжу початкові умови розв’язуючи систему нелінійних рівнянь застосовуючи функцію MatLab fsolve . Для цього спочатку створюю файл даних dani:

%dani

P2=0; Q=0.015; v=1e-5;

T=290; L2=5; r2=0.06;

kv=0.015; l0=0.7; ro=1000;

l1=0.7+0.14; d=0.25; w=1000;

eps=0.9; g=9.81; Cp=4200;

%koef

k=(pi*r2^4)/(8*L2*v);

S=pi*d^2/4;

і опишемо систему у файлі nuli.m :

function y=nuli(x);

h1=x(1); h2=x(2); T1=x(3); T2=x(4);

dani;

y=[(Q-kv*l0*sqrt(g*h1))/S;

(kv*l0*sqrt(g*h1)-k*g*h2)/S;

(Q*(T-T1)+(w/(ro*Cp)))/(S*h1);

((kv*l0*sqrt(g*h1))*(T1-T2))/(S*h2)];

\

Команду fsolve буде містити файл zapnuli.m :

%zapnuli

x0=[0.1; 0.01; 280; 285];

clc

yy=fsolve('nuli',x0); Результатами виконання файлу є такі значення параметрів стану:

h₁₀= 0.2080342840499;

h₂₀= 0.0150219865492;

T₁₀= 290.01587301582;

T₂₀= 290.01587301582;

Знайдемо тепер номінальні значення параметрів стану об'єкту числовим методом, використовуючи функції MatLab. Для того, щоб розв'язати систему нелінійних диференціальних рівнянь потрібно створити два файли, в одному з яких (файлі-функції nelmod.m) будуть записані праві частини системи диференціальних рівнянь, розв'язані відносно перших похідних, а у другому файлі (nelzap.m) буде записана функція MatLab ode45, призначена для розв'язування системи диференціальних рівнянь.

Файл-функція nelmod.m :

function y=nelmod(t,x);

h1=x(1); h2=x(2); T1=x(3); T2=x(4);

dani;

yy=[(Q-kv*l1*sqrt(g*h1))/S;

(kv*l1*sqrt(g*h1)-k*g*h2)/S;

(Q*(T-T1)+w/(ro*Cp))/(S*h1);

((kv*l1*sqrt(g*h1))*(T1-T2))/(S*h2)];

Файл nelzap.m:

%nelzap

x0=[yy(1) yy(2) yy(3) yy(4)];

dani;

koef;

[t,y]=ode45('nelmod',[0 40],x0);

figure(1);plot(t,y(:,1));

xlabel('time,sec');ylabel('h1,m');

grid;

figure(2);plot(t,y(:,2));

xlabel('time,sec');ylabel('h2,m');

grid;

figure(3);plot(t,y(:,3));

xlabel('time,sec');ylabel('T1,K');

grid;

figure(4);plot(t,y(:,4));

xlabel('time,sec');ylabel('T2,K');

grid;figure(3);plot(t,y(:,3),'k');

xlabel('time,sec');ylabel('T,K');

grid;

Результатом роботи цих програм є графіки перехідних процесів параметрів стану досліджуваного об'єкту.

Рисунок 1.1 Перехідний процес h1(t) з номінального початкового стану рівноваги до нового стану рівноваги, при нанесенні на об’єкт збурення .

Рисунок 1.2 Перехідний процес h2(t) з номінального початкового стану рівноваги до нового стану рівноваги, при нанесенні на об’єкт збурення .

Рисунок 1.3 Перехідний процес T1(t) з номінального початкового стану

рівноваги до нового стану рівноваги, при нанесенні на об’єкт збурення .

Рисунок 1.3 Перехідний процес T2(t) з номінального початкового стану

рівноваги до нового стану рівноваги, при нанесенні на об’єкт збурення .

Зауваження:

Як бачимо з графіків перехідних процесів Т1(t), Т2(t) температура не змінюється. Це пояснюється тим що нагрівник w в першій эмності h1 нагріває витрату Q, яка є сталою, тобто при зміні положення регулюючого органу l1 температура буде залишатися початковою.

Тому надалі можемо не розглядати рівняння системи, які описують зміни температури.