Определение статистических гипотез. Классификация статистических гипотез.

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он имеет определенный вид, то выдвигают гипотезу: генеральная совокупность распределена по закону А.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H₀.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу H₁, которая противоречит нулевой.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и т.д. Ограничимся рассмотрением применения критерия Пирсона, но прежде дадим несколько определений.

Эмпирические частотами называют фактически наблюдаемые частоты n_i.

Теоретическими частотами называют частоты n_i^´, вычисленные в предположении, что случайная величина распределена по предполагаемому закону.

,

где n – число испытаний, а P_i – вероятность попадания случайной величины в i-тый интервал.

Критерии проверки гипотез

Сформулируем критерий согласия Пирсона по проверке гипотезы о распределении генеральной совокупности.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена по определенному закону, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения χ² по заданному уровню значимости и числу степеней свободы k=s-1-r найти критическую точку .

Если - нет оснований опровергнуть нулевую гипотезу.

Если - нулевую гипотезу отвергают.

Критерий Пирсона применяется для нормального распределения, показательного распределения, распределения по биномиальному закону, равномерного распределения, распределения по закону Пуассона.

Алгоритм проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона.

1. Найти выборочную среднюю.

2. Принять в качестве оценки параметра λ выборочную среднюю

3. Найти по формуле Пуассона вероятности

4. Найти теоретические частоты по формуле

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-2

Пример

Задано эмпирическое распределение дискретной случайной величины X (n=200).

xi	0	1	2	3	4	5	6	7	≥8
ni	41	62	45	22	16	8	4	2	0

Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона при уровне значимости =0.05.

Решение:

Найдем выборочную среднюю:

Примем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю =λ=1.8.

Следовательно, предполагаемый закон Пуассона

имеет вид

.

Найдем вероятности P_i =P₂₀₀(i)_.

Найдем теоретические частоты по формуле:

.

, , , , , , , ,

Составим расчетную таблицу, объединяя малочисленные частоты и соответствующие им теоретические частоты.

i	ni	ni’	ni- ni’	(ni- ni’)2	(ni- ni’)2/ ni’
0 1 2 3 4 5 6	41 62 45 22 16 8 6	33.06 59.5 53.56 32.14 14.46 5.2 2.04	7.94 2.5 -8.56 -10.14 1.54 2.8 3.96	63.04 6.25 73.27 102.82 2.37 7.84 15.68	1.9069 0.1050 1.368 3.199 0.164 1.507 7.687
	200

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы k=7-2=5 находим .

Так как есть основания опровергнуть гипотезу о распределении случайной величины х по закону Пуассона.