Статистическое распределение выборки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка x₁, x₂,…,x_k, причем x_i наблюдалось n_i раз. В этом случае - объем выборки. Наблюдаемые значения x_i называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки n_i/n=w_i – относительными частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример.

Пусть задано распределение частот выборки

xi	2	4	5	7	9	11
ni	1	2	1	1	4	1

Найти распределение относительных частот.

Решение.

Найдем объем выборки:

n=1+2+1+1+4+1=10

Найдем относительные частоты:

w₁=1/10=0.1, w₂= 2/10=0.2, w₃=1/10=0.1,

w₄=1/10=0.1, w₅= 4/10=0.4, w₆=1/10=0.1,

Напишем искомое распределение относительных частот:

xi	2	4	5	7	9	11
wi	0.1	0.2	0.1	0.1	0.4	0.1

Эмпирическая функция распределения.

Эмпирической функцией распределения называют функцию F^*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X<x:

F^*(x)=n_x/n,

где n_x – число вариант, меньших х.

Пример

Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график

xi	0	1	2	3	4
ni	5	2	1	1	1

Решение:

Найдем объем выборки:

n=5+2+1+1+1=10

Наименьшая варианта равна нулю, следовательно,

F^*(x)=0 при x ≤0

Значение X<1, а именно x₁=0 наблюдалось 5 раз, следовательно,

F^*(x)=5/10=0.5 при 0<x ≤1

Значение X<2, а именно x₁=0 и x₂=1 наблюдалось 5+2=7 раз, следовательно,

F^*(x)=7/10=0.7 при 0<x ≤1

и т.д.

Наибольшая варианта равна x=4, следовательно

F^*(x)=1 при x>4

Выпишем искомую эмпирическую функцию:

Построим график данной функции:

F^*(x)

1

0.9

0.8

0.7

0.5

1 2 3 4