1. Ընդհանրությանքվանտոր (квантор всеобщности):

Ենթադրենք R(х)-որոշակի պրեդիկատ է, որը ընդունում է Иկամ Л արժեքներ յուրաքանչյուրх-էլեմենտի համար, որը 𝔐բազմության էլէմենտներից է:

Այսդեպքում∀х R(х)տիպիարտահայտությունըհամարվում է իրական(И)երբR(х)-ը իրական է 𝔐-ի յուրաքանչյուրх-ի դեպքում և կեղծ է (Л)հակառակդեպքում: Այդարտա-հայտությունը(высказывание)չիկախվածх-ից, որըհամապատասխանբառացի(словесное)արտահայտությունկլինի` «для всякого х R(х) истинно»:

𝔄(х)ֆորմուլանիրմեջկարող է ունենալ բացի х-ից ուրիշ փոփոխականներ, այսդեպքում𝔄(х)-ի արտահայտությունըբացիх-ից բոլոր փոփոխականների և առարկաների, և պրեդիկատների փոփոխելուց հետո դառնում է կոնկրետ պրեդիկատ, որը կախված է միայն х-ից: Իսկֆորմուլան∀х U(х)դառնում է լրիվ որոշվող արտահայտություն(вполне определенным высказыванием): Այս ֆորմուլանևս կախված չի х-ից; և որոշվում է բոլոր փոփոխականներին արժեք տալով, բացի х-ից, այսինքն х-իցկախվածչի:∀хսիմվոլըկոչվում է ընդհանրությանքվանտոր:

2. Գոյության քվանտոր (квантор существования):

Ենթադրենք R(х)-ը որևպրեդիկատ է, նրա հետ կապենքհետևյալֆորլուլան` ∃х R(х),որիհամարորոշելովИարժեքը, եթեգոյությունունիէլեմենտ𝔐տիրույթում, որիժամանակR(х)И է և Л հակառակդեպքում: ԱյսպիսովեթեU(х)- պրեդիկատիտրամաբանությանորոշակիֆորլուլան է, ապա∃х U(х)ֆորմուլանևսորոշված է և х-ի արժեքիցկախվածչի: ∃хնշանըկոչվում է գոյությանքվանտոր:

∃х և ∀хիրար նկատմամբ երկդիմ են (двойственные)ասելուենք, որ∀х U(х) և∃х U(х)ֆորմուլաներում∃х և ∀хքվանտորներըվերադրվումենхփոփոխականինկամկարողենքասել, որхփոփոխականըկապված է համապատասխան քվանտորի հետ:

Այն առարկայական փոփոխականը, որ կապված չի որև քվանտորի հետ կաչվում է ազատ փոփոխական (свободная переменная):

Այսպիսով, մենք նկարագրեցինք պրեդիկատների տրամաբանությանբոլոր ֆորմուլաները:

Եթե 2U և 𝔐ֆորմուլաներում, որոնք պատկանում են 𝔐-ի որև տիրույթին, փոխենք բոլոր փոփոխական պրեդիկատները, փոփոխական արտահայտությունները և ազատ առարկայական փոփոխակաները, համապատասխանաբար անհատական պրեդիկատներով 𝔐տիրույթից: Ինչպես նաև անհատական արտահայտություններով և անհատական առարկաներով նույն տիրույթից, որոնք ունեն «ի» կամ «կ» արժեքներ, ապակարող ենք ասել որ այդ ֆորմուլաներըհամազոր են նույն տիրույթում 𝔐:

Եթե2ֆորմուլաներըհամազոր են𝔐-ի ցանկացած տիրույթում, ապա մենք ասում ենք, որ այդ ֆորմուլաները իրար միշտհամազոր են, որը արտահայտվում է հետևյալ կերպ`

𝔄𝔅 равносильно 𝔄⋁𝔅.

Երե 𝔐տիրույթը𝔄և𝔅ֆորմուլաներում փոխենք բոլոր փոփոխական պրեդիկատներըանհատական պրեդիկատներով, փոփոխական արտահայտություններըանհատական արտահայտություններով: Ազատ առարկայական փոփոխականները անհատական առարկայական փոփոխականերով, որոնք ունեն ի կամ կ արժեքները, ապա կարող ենք ասել, որ այդ ֆորմուլաները համազոր են իրար նույն տիրույթներում:

Օկտվելով դրանից, մենք կարող ենք ցանկացած ֆորմուլայի համար գտնել համարժեքը, որոնց մեջ օգտագործվում են միայն &, Vև - օպեռացիաները:

Օրինակներ`

1. ∃ х(∀(х))∀y (B(y))համարժեք է∃х(A(х))⋁∀y(B(y))

2. ∀ х A(х)(B(z)∀хC(x))համարժեք է∀х A(х)⋁(B(z)⋁∀хC(x))

3. ( ∃хA(х) ∀yB(y)) C(z)համարժեք է∃хA(х) ∀yB(y) ⋁C(z)վերջինսհամարժեք է∃хA(х)⋁∀yB(y) ⋁C(z)նորիցձևվափոխենք`համարժեք է

∃хA(х)&∀yB(y) ⋁C(z)

Երկակիության օրենքի հասկացողություն

(Понятие о законе двойственности):

Ե րկակիության ձևերը անրաժեշտ է տարբերել ինվերս ֆունկցիաներից – որը ստացվում է սկզբնական տվյալներից, նրանց ինվերսացնելով: Այս դեպքում ոչ միայն բոլոր գործողությունները (+, ─,∗) փոխարինվում են երկակիության, բայց փոխվում է նաև առանձին փոփոխականների արժեքները հակառակ մեծությամբ: Ընդանուր տեսքովϕ(х_{1 …}х_n)ֆունկցիաիհամարինվերսիանգրվում է ϕ(х_{1 …}х_n)տեսքով և ակնհայտ է որ ինվերսված ֆունկցիան կապված էերկակիության ձևով հետևյալ կերպ` ϕ(х<sub>1 …</sub>х<sub>n</sub>)= ϕ*(х<sub>1 …</sub>х<sub>n</sub>):Օրինակ` ϕ (a, b)=ab+abգտնենքնրաերկակիությանձեվըϕ*(a, b): ֆունկցիանշրջելով(инверсируя)ϕ (a, b)ստանումենքϕ (a, b)= ab+ab= (a+ b)(a+ b): Այժմ յուրաքանչյուր փոփոխականի արժեքը դարձնելով հակառակ ստանում ենք երկակիությանձևϕ (a, b)համար, այսինքնϕ*(a, b)= (a+ b)(a+ b)= (a+ b)(a+ b): Ձևակերպենքերկակիությանօրենքը: Եթե ϕ₁ևϕ₂համարժեք են, ապա երկրակի է նրան ϕ₁*ևϕ₂*ձևրը:

Աքսիոմաների տեսություն:

Աքսիոմատիկ տեսության հասկացողությունը:

Այս հասկացողությունը օգտագործվել է Էվկլիդի կողմից, երբ նկարագրվում եր հույների կլասիկ երկրաչափությունը: Նախաբանը կազմված է հետևյալ կերպ:

Սկզբից տրվում է անվանումները առաջնային տերմերի, որոնք են` կետը, ուղիղ գիծը և հարթությունը:

Այնուհետև նկարագրվում է այդ տերմերի տարբեր հատկությունները, որոնց էվկլիդը անվանում էր աքսիոմաներ, ուրիշները անվանում էին պոստուլատներ: Ակնհայտ եր, որ այդ հատկանիշների առկայությունը` ճշմարտություն է: Աքսիոմաներից և պոստուլատներից տրամաբանորեն դուրս եր բերվում նոր հատկանիշների նկարագրությունը և անվանվում թեորեմաներ: Այնուհետև այդբ տեսակետները մաթեմատիկայում վերածվեցին էվոլացիոն փոփոխությունների և Լոբաչևսկու հայտնագործության շնորհիվ հանդես եկավ ոչ էվկլիդային երկրաչափության գաղափարը: Դրա էությունը կայանում է հետևյալում` ոչ էվկլիդային երկրաչափությունը դա նույն էվկլիդային երկրաչափությունն է առանց զուգահե-ռականության պոստուկատի (այս ոստուլատը Լոբաչևսկու մոտ բացառվում է):

Նշանակենք սահմանափակ քանակության արտահայտությունների բազմությունը Г- տառով: Արտահայտությունը Г├Сնշանակում է, որС- ն դուրս է բերվում Г –ից:

Մասնավոր դեպքում` երբГ–ն դատարկ է մենք կգրենք ├С, այսպիսովС-արտահայ-տության դուրս բերումը դատարկ ծանրոցների (посылка) բազմությունից:

Ոչ ֆորմալ աքսիոմաներ:

Եթե որև է աքսիոմատիկ տեսության նկարագրման ժամանակ օգտագործվող տրամա-բանական կանոնների համակարգը նախորոք հայտնի է, ապա այդ տեսությունը հանդիսանում է ոչ ֆորմալ տեսության (неформальная (содержательная) теория):

Մետամաթեմատիկա

(метаматематика):

Յուրաքանչյուր ֆորմալ տեսություն պետք է գրվի որև լեզվով, որը հասկանալի լինի և լեզվի գրողի համար և կարդացողի համար:

Լեզուն, որով նկարագրվում է որև ֆորմալ տեսություն, ընդունված է անվանել մետալեզու (метаязыком или синтаксическим языком): Այդ լեզու կոչվում է առարկայական լեզու (предметным языком или языком-объектом):

Արտահայտությունների հաշվարկը, որպես ֆորմալ աքսիոմաների տեսություն:

Ֆորմուլաները կարտահայտենք հետևյալ կերպ`

1. Ամեն արտահայտող տառը դա ֆորմուլաներ են:

2. Եթե Aև B ֆորմուլաներ են, ապա (A)⋁(B)- ֆորմուլա է:

3. Եփե A-ն ֆորմուլա է, ապա ∼(A)- ֆորմուլա է:

4. Ֆորմուլաներ են հանդիսանում միայն ֆորմալ սիմվոլների տողերը:

Մտցնենք հետևյալ կրճատումները որոշ տեսակի ֆորմուլաները`

A B вместо ∼(A) ⋁B

A ⋀ B вместо ∼ ((∼A) ⋁ (∼B))

A B вместо (A B) ⋀ (B A)

Տեսությանաքսիոմաներըհանդիսանումենհետևյալֆորմուլաները`

(PC1)∼(A⋁A)⋁A

(PC2) ∼A (A⋁ B)

(PC3)∼(A⋁B)⋁(B⋁A)

(PC4)∼(∼A⋁B)⋁(∼ (C⋁A) ⋁(C⋁B))

կամկրճատնշանակելով

(PC1)A ⋁ A A

(PC2) A A⋁B

(PC3) A⋁B B⋁ A

( PC4) (AB) ((C⋁A) (C⋁B))

(PC1) -(PC4)յուրաքանչուրարտահայտությունումհասկանումենքորպեսաքսիոմաներիսխեմաներ :

Չնայածնրան, որաքսիոմաներըկարողենլինելանվերջմեծքանակության , բոլորդեպքերումաքսիոմիհասկացողությունըէֆեկտիվէ, ֆանիորյուրաքանչյուրաքսիոմապետքէունենանշվածչորստեսակներիցորևմեկձևը(форма):

Պրեդիկատների հաշվարկը,որպես ֆորմալաքսիոմաների տեսություն:

Այստեսությանաքսիոմաներնենհանդիսանումարտահայտություններիհաշվարկման (PC1) -(PC4) աքսիոմաներիսխեմաներըգումարածհետևյալ2 աքսիոմաներիսխեմաները`

( PC5)(х)A(х) A(y), որտեղA(х) հանդիսանեւմէկամավորֆորմուլա, այնպիսինորեթեyփոփոխականըփոխարինվումէх-ովA(х)-իմեջ, ապաy-ըդառնումէազատփոփոխական:

( PC6)A(y) (∃х) A (х)նույնսահմանափակումներով, ինչպես (PC5) էր:

Պ րեդիկատներիհաշվարկում, ինչպեսարտահայտություններիհաշվարկումէրդուրսբերումըպրեդիկատներիհաշվարկում(выводимость висчислении предикатов)ձևակերպվումէհետևյալկերպ` ֆորմուլաBդուրսբերվումաֆորմուլաA<sub>1</sub>, A<sub>2,</sub> … A<sub>m</sub>, որըսիմվոլիկորենգրվումէհետևյալկերպ` A₁, A_2, … A_m├B: Եթեպրեդիկատներիհաշվարկում├Aապա⊨A: