Համակարգիչների

տրամաբանությունը

(Компьютерная логика):

Առարկան բաղկացած է հետևյալ բաժիների`

1. Բազմություններ և հարաբերություններ (Множества и отношения):

2. Ասույթների հանրահաշիվ (Алгебра высказываний):

3. Ասույթների հաշվարկը(Исчисление высказываний):

4. Պրեդիկատների տրամաբանություն (Логика предикатов):

5. Պրեդիկատների հաշվարկումը (Исчисление предикатов):

6. Աքսիոմատիկ թվաբանություն (Аксиоматические теории):

7. Բուլյան հանրահաշիվները (Булевы алгебры):

Բազմություններ և հարաբերություններ:

Բազմությունների տեսությունը, որպես մաթեմատիկական առարկա ստեղծվել է գերմանաի Կանտորի կողմից (1845-1918):

Կանտորի կողմից կատարած հետազոտությունները պատկանում են եռանկյունաչա-փական շարքերին (тригонометрическим рядам), ինչպես նաև թվային հաջորդակա-նություններին (числовым последовательностям), որոնք անհրաժեշտ են թվերի անվերջ (бесконечно) քանակության համեմատության համար:Այս պրոբլեմի լուծման համար Կանտորը մտցրել է գաղափար (հասկաություն)բազմության հզորություն կամ ծավալ (объем) ըստ որի երկու բազմություններ ունեն միևնույն հզորությունը միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր բազմության անդամները հնարավոր է համադրել (նմանացնել-сопоставить), կազմելով համապատասխան զույգեր երկու բազմություններից:

Որպեսզինշանակել (обозначать) բազմությունը ամբողջ, ռացիոնալ, իրական (действительных) և կոմպլեքս թվերը օկտագործվում է համապատասխաաբար հետևյալտառերը` Z, Q, R, C: Այս թվերի դրական արժեքների դեպքում, նշանակումը կլինի Z⁺, Q⁺, R⁺:

Բազմության հասկացողությունը (понятие) ըստ Կանտորի:

Sբազմությունը իրենից ներկայացում է օբեկտների որոշակի և իրարից տարբերվող խումբ, որոնք ընկալվում են մեր ինտուիցիայի և ինտելեկտի միջոցով որպեզ ընդհանրություն (мысленное как одно целое):

Այդ օբեկտները կոչվում են S բազմության անդամներ:

Բազմությունների ինտուիտիվ տեսության հիմնական սկզբմունքները:

Ը ստԿանտորիցանկացածբազմությունբաղկացած է որոշակիառարկաներից, որոնքկոչվումենբազմությանանդամկամէլեմենտներ: Էլեմենտիպատկանելությունըտվյալբազմությանընշանակվում է X∈A: Եթեչիպատկանումնշանակվում է X∈A: Հետևյալօրինակը`X<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>, X<sub>3</sub> … X<sub>n</sub>∈A,կարողենքներկայացներայպեսX<sub>1</sub>∈A; X<sub>2</sub>∈A ևայլնX<sub>n</sub>∈A: Այնբազմությունը, որիէլեմենտներըհանդիսանումենX<sub>1</sub>, X<sub>2</sub>, … X<sub>n</sub>գրվում է հետևյալկերպ` { X₁, X₂, … X_n}:

Մտնել (вклþчение):

Եթե A-ն և B-ն բազմություններ են, ապա ասվում է, որ A-ն պարունակում էB-ում և գրվում է A⊆B: Այսինքն, եթե Aբազմության յուրաքանչյուր էլեմենտը պարունակում է Bբազմության մեջ միաժամանակ կարելի է ասել, որAբազմությունը B-ի ենթաբազմուրյունն է (подмножество):

Այսպիսով, ինչպես A ⊆ B և B⊆ A նշանակում է, որ յուրաքանչյուր X-ի համար, եթե X ∈ A ապա X ∈ B-ին: Օրինակ` զույգ թվերի բազմությունը строго (խիստ) մցրված է ամբողջ թվերի

(Z) բազմության մեջ: Ինշպես նաև ռացիոնալ (Q) թվերի, բազմությունը խիստ մտցրված է ամբողջ (Z) թվերի մեջ:

Մտցրվածության հարաբերակցության (отношения включения) հիմնական հատկա-նիշներն են`

X⊆ X

X⊆y ևY⊆z влечет(հետևում է) X⊆z

X⊆Y ևY⊆ X влечет X=Y

Դատարկ բազմությունը ունի հետևյալ символ-ը∅և չի պարոինակում իր մեջ էլեմենտ-ներ:

Բազմությունների նկատմամբ գործողությունները (операции над множеством):

Այտ գործողությունները նման են ամբողջ թվերի գումարմանը կամ բազմապատկմանը:

Ընդհանրացում (объеденение, соединение, сумма):

Ընդհանրացումը A և B բազմությունների գրվում է հետևյալ կերպ` A ⋃ B կամ A-ն B-ի բաժակն է (чашка), այսպիսով ըստ որոշման (по определению) X ∈A ⋃ B: Այս արտահայտությունը գոյություն ունի այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ X-ը հանդիսանում է էլեմենտը թեկուզ և որև է մեկի A կամ B բազմություններից: Օրինակ` {1,2,3}⋃{1,3,4}={1,2,3,4}:

Հատում (пересечение):

A և B բազմությունների բազմապատկումը գրվում է A ⋂B, կարդացվում է որպես A-ի և B-ի հատում (пересечение) կամ «A крышка B»(A-ն B-ի կափարիչն է),այսպիսով ըստ X ∈A ⋂ B արտահայտության {1,2,3}⋂{1,3,4}={1,3}:

Տրամաբանություն (логика):

Արտահայտությունների հաշվարկը (исчисление высказываний):

Սենտենցիոնալ կապեր:

Մաթեմաթիկական և այլ դատողություններում միշտ հանդիպում ենք պատմողական (по-вествовательные) նախադասություններ, որոնք գոյանում են (образуются) որև նախադա-սության ձեվափոխմամբ (видоизменения) «не» բառի օյնությամբ, կամ նախադասությունների միավորմամբ (связывания) «и», «или», «если …, то», «тогда и только тогда, когда»: Այս 5 բառերի օգտագործմամբ կոմբինացիայի էությունը անվանվում է сентенционал связка–ներ:

Առաջին հերթին կատարենք բարդ նախադասությունների կառուցվածքիանալիզը,այսինքն այնպիսի պատմողական նախադասությունները, որոնք պարունակում են մեկ կամ մի քանի կապեր հասարակ (простые) նախադասությունների միջև: Սկզբում դիտենք յուրաքանչյուր կապը առանձին:

Նախադասությունը որի տեսքը փոխվում է «не» բառի միջոցով, կաչվում է նախնական նախադասության բացասում (отрицание): Օրինակ` «2 есть не простое число» այս արտահայտությունը իրենից ներկայացնում է «2 есть простое число» նախադասության բացասումը:

«И» բառը օգտագործվում է 2 նախադասություններից բարդ (сложно) նախադասություն ստեղծելու համար: «И»-ի օգտագործմամբ ստեղծվում է այդ երկու նախադասությունների կոնյուկցիան: Օրինակ` «солнце светит»и «на дворе холодно»:

Այս նախադասությունը, որը գայանում է 2 նախադասությունը «Или»–ով միացնելով, կոչվում է այդ նախադասությունների դիզունկցիա:

Երկու նախադասություններից կարելի է ստեղծել մեկը «если ..., то ...» տեսքով, որը կոչվելու է импликация (կամ պայմանական նախադասություն):Նախադասությունը, որը անմիջապես հետեևում է «если» բառից հանդիսանում է антецедент, իսկ նախադասությունը որը անմիջապես հետևում է «то» - ից հանդիսանում է консеквент:Օրինակ`«Եթե 2> 3‚ ապա 3 >4»: Այս նախադասությունը պայմանական (условное) նախադասություն է, որի մեջ«2 > 3» - անտիցեդենդն է և«3 > 4» - կոնսեկվենտն է: Դիտենք մի քանի արտահատություններ P-ի և Q-ի տեսքով, որոնք ներկայացնում են միևնույն իմաստը`

«եթե P ապա Q»

P влечет Q (P-ից հետևում Q–ն)

P тогда и только, когда Q (P-ն միայն այն ժամանակ, երբ գոյություն ունի Q–ն)

PестьдостаточноеусловиедляQ (P-նբավարարպայմաննէQ–իհամար)

Q при условии, что P (Q–նըստպայմանիP–նէ –ն)

Q, если P(QեթեP)

Qесть необходимое условие для P(Q-ն անհրաժեշտ պայմանն է P–ի համար)

Բառերը' «тогда и только тогда, когда» օգտագործվում են նրա համար, որպեսզի երկու նախադասությունից ստանանք էքվիվալենտ նախադասություն:

Սենտենցիոնալ կապերը հետևյալն են'

1. ∼для «НЕ»

2. ⋀для «И»

3. ⋁ для «ИЛИ»

4. д ля «ЕСЛИ …, ТО …»

5. для «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА»

ԱյսպիսովեթեP–նևQ-ննախադասություններեն,ապաայդնշանակումներըկունենանհետևյալտեսքը`

1. ∼ P

2. P ⋀ Q

3. P ⋁ Q

4. P Q

5. P Q

Բերենք մի քանի օրինակներ բարդ նախադասությունների, որոնք բաղկացած են պարզ նախադասություններից:

1. «2 есть простое число и 6 есть составное число» սիմվոլիկորեն գրվում է P ⋀ C,որտեղP- «2 есть простое число» иC-«6 есть составное число»

2. « Если Пираты или Щенки проиграют и Великаны выиграют, то Увертыши потеряют первое место и, кроме того, я проиграю пари» սիմվոլիկորեն գրվում է A C, այստեղ անտեցեդետն բաղկացած է 3 հասարակ նախադասություններիցP(пираты проиграют), C(щенки проиграют), и G(великаны выиграют), իսկ կոնսեկվենտը իրենից ներկայաց-նում էD և Bնախադասությունների արտադրյալը` D(увертыши потеряют первое место), B(я проиграю пари): Այսպիսով սկզբնական նախադասությանը սիմվոլիկորեն գրվում է հետևյալ կերպ`(( P⋁ C)⋀ G) ( D⋀ B )

3. « Եթե բանվորները կամ ղեկավարները համառում են, ապա գործադուլը կարող է կարգավորվել այն և միայն այն ժամանակ, երբ կառավարությունը կարողանա իրակա-նացնել արգելման դատական որոշում, բայց զորքը չի ուղարկվի գործարան»: Այս նախադասաությունը հանդիսանում է իմպլիկացիա: Այստեղ անտեցետեդենտը հանդիսանում է L (բանվորներըհամառում են) և M (կառավարությունը համառում է) նախադասությունների դիզյունկցիան: Կոնսեկվենտը հանդիսանում է էքվիվա-լենտությունը (эквивалентность), որի ձախ մասը հանդիսանում է S-ը(գործադուլը կարող է), իսկ աջ մասը G և Rժխտված (∼R) նախադասությունների կոնյուկցիան է, որտեղ` G(կառավարությունը կհասնի դատական որոշուման), R(զորքերը կուղարկեն գործարան): Ասպիսով` նախնական նախադասությունը սիմվոլիկորեն կգրվի հետևյալ կերպ` (L⋁ M) (S( G ⋀ (∼R)))

Ո րպեսզի վերացնել փակագծերի մեծ քանակությունը (բարդ նախադասությունները սիմվոլիկ ձևով գրելու ժամանակ), նտցնենք որոշակի պարզեցում (ինչպես հանրա-հաշվում է): Պայմանավորվենք, որ ուժեղագույն սենտենցիոնալ կապն է (դա նշանակուն է, որ նա ունի գործողության ուժեղագույն միջավայր), իսկ նրանից հետո հետևում է , այնուհետեվ ⋁և վերջում ⋀, որոնցից վերջին երկուսին տալիս ենք հավասար զորություն, իսկ ∼համարում ենք թույլ (слабейшая) կապ:Այսպիսով`

P ⋀Q R նշանակումէ (P⋀Q) R

P Q R…P (Q R)

P Q⋀R…P (Q⋀R)

∼P⋀Q…(∼P)⋀Q

Վերջապես այս նախադասությունը կգրվի հետևյալ կերպ`

L ⋁M (S G⋀(∼R))

Վարժություններ:

1. Սիմվոլիկորեն գրել հետևյալ բարդ նախադասությունները, օգտագործելով տառեր, որոնք համարժեք են պարզ նախադասությունների (այսինքն նախադասություններ որոնցում բացակայում են սենտենցիոնալ կապերը):

1. Идет дождь или кто-то не выключил душ.

2. Если вечером будет туман, то Джон или останется дома, или должен будет взять такси.

3. Джон сядет, и он или Джордж будут ждать.

4. Джон сядет и он или Джордж будет ждать.

5. Я поеду или на автобус, или на такси.

6. Ни север, ни юг не победили в гражданской войне.

7. Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты ирригационные каналы; если хлеба не уцелеют, то фермеры обанкротятся и оставят фермы.

8. Если я устал или голоден, я не могу заниматься.

9. Если Джон встанет и пойдет в школу, он будет доволен, а если он не встанет, он не будет доволен.

2. Пусть С будет «сегодня ясно», R- «сегодня идет дождь», S- «сегодня идет снег» и Y-«вчера было пасмурно». Переведите на обычный язык следующие предложения:

1. C ∼ (R⋀S)

2. Y C

3. Y⋀(C⋁R)

4. ( Y R)⋁C

5. C (R⋀∼S)⋁Y

6. ( C R)⋀(∼S⋁Y)

C- «այսօր պարզ եղանակ է»

R- «այսօր անձրև է գալիս»

S- «այսօր ձյուն է գալիս»

Y- «երեկ ամպամած եղանակ եր»

Միանշանակություն(общезначимость):

Որպեզի մեկնաբանենք 0-ի էությունը, կատարենք հետևյալ ենթադրությունները (допущение):

1. Յուրոքանչյուր պարզ նախադասությունը, իրենից ներկայացնում է արտա-հայտություն (высказывание): Այսինքն հասարակ (պարզ)նախադասությունը կարելի է վերագրել ճշմարիտ արժեք:

2. Յուրոքանչյուրնախադասությունկազմվուն էսենտենցիոնալ կապերի միջոցով պարզ նախադասություններից, որոնց ճշմարիտ արժեքները դեպքում, այդ նախադասությունը դառնում է ճշմարիտ, որը բխում է սենտենցիոնալ կապերից:

Բ երենք օրինակներ: Եթե A և B որև բազմության էլեմենտներ են, ապա այդ բազմության էլեմենտները կարող են լինել նաև ∼A,A ⋁ B,A ⋀ B, A B,A B: Այսպիսի ընդլայնացված բազմությունները անվանենք ֆորմուլաներ: Առաջնային բազմության էլեմենտները կոչվում են հասարակ (էլեմենտներ) ֆորմուլաներ, իսկ մնացածները բաղադրյալ: Ինչպես գիտենք յուրաքանչյուր պարզ ֆորմուլային վերադրում ենք (Ճ, Կ): Բաղադրյալ ֆորմուլայի իրական արժեքը ստացվում է ինդուկտիվ ճանապարով ելներով հետևյալ աղյուսակից:

A B	A ⋀ B	A ⋁ B	A B	A B	∼A
Ճ Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Ճ	Կ
Ճ Կ	Կ	Ճ	Կ	Կ	Կ
Կ Ճ	Կ	Ճ	Ճ	Կ	Ճ
Կ Կ	Կ	Կ	Ճ	Ճ	Ճ

2 փոփոխականիմիջոցով կառուցված ֆունկցիաները կարող ենք գրելհետևյալ կերպ⋀(p, q), ⋁(p, q), (p, q), (p, q):

Այսֆորմուլան, որը ճշմարիտարժեքմերը ցանկացածպարզբաղադրիչների ճշմարիտ արժեքներիդեպքումճշմարիտ է, ապա այդպիսի ֆորնմուլանարտահայտություններիհաշվարկմանմեջ անվանվումենобщезначимым, որըևհանդիսանումէтавтологияևգրվումէհետևյալկերպ` = A

Օրիակներ`

Աղյուսակ1 Աղյուսակ 2

P Q	P ⋀ (P Q) Q
Ճ Ճ	Ճ Ճ Ճ
Ճ Կ	Կ Կ Ճ
Կ Ճ	Կ Ճ Ճ
Կ Կ	Կ Ճ Ճ

P	P P
Ճ	Ճ
Կ	Ճ

Աղյուսակ 3

P Q R	P (Q R)
Ճ Ճ Ճ	Ճ Ճ
Ճ Ճ Կ	Կ Կ
Ճ Կ Ճ	Ճ Ճ
Ճ Կ Կ	Ճ Ճ
Կ Ճ Ճ	Ճ Ճ
Կ Ճ Կ	Ճ Կ
Կ Կ Ճ	Ճ Ճ
Կ Կ Կ	Ճ Ճ

Ե թե = Aև= A Bապա= B