19 Динамика механизмов

19.1 Уравнения движения механизма

До сих пор предполагалось, что закон движения ведущего звена известен и скорость звена постоянна. В действительности кинемати­ческие параметры механизмов являются функцией внешних сил, дей­ствующих на звенья механизма, и масс подвижных звеньев.

Для определения действительного закона движения ведущего звена механизма нужно составить уравнение движения механизма и решить его относительно искомого кинематического параметра.

Наиболее простым и удобным методом определения уравнений движения механизмов является решение лагранжевых уравнений движения в обобщенных координатах.

Перемещения звеньев механизма ограничены имеющимися свя­зями, т.е. не все координаты точек звеньев независимы. Для механиз­мов положение точек звеньев при известных их размерах определяет­ся заданием только независимых, обобщенных координат.

Обобщенными координатами называют независимые величины любой размерности (м, рад,...), с помощью которых можно выразить положение любой точки механической системы (механизма). Их ко­личество равно числу степени подвижности W механизма, т.е. степе­ни его свободы. Будем обозначать обобщенные координаты q_1, q₂ ..., q_w. С течением времени звенья механизмов меняют свое положение, поэтому обобщенные координаты, определяющие их положение, за­висят от времени: q = q(t). Обобщенные скорости и ускорения определяются как

Например, для кривошипно-ползунного механизма, имеющего степень подвижности W =1, за обобщенную координату принимают перемещение ведущего звена. При ведущем звене — кри­вошипе за обобщенную координату выбирают угол его поворота, т.е. q = , а обобщенные скорости и ускорения будут равны соответ­ственно и . Если же этот механизм служит для преобразования возвратно-поступательного движения во вращатель­ное, т.е. ведущим звеном будет ползун, то за обобщенную координату принимают перемещение ползуна q = хС = , а обобщенные скоро­сти и ускорения будут равны соответственно и

Наибольшее распространение имеют механизмы со степенью подвижности, равной единице. Рассмотрим вывод уравнений Лагранжа для таких механизмов. Механизм (механическую систему) можно представить как совокупность материальных точек (k= 1, 2,..., n), каж­дая из которых имеет массу тk и на каждую из которых действует не­которая сила . Координаты этих точек выразим через обобщенные координаты: . Линейные скорости точек механизма

Из этого выражения имеем

Дифференциальное уравнение движения точки известно (второй закон Ньютона). Уравнение движения механизма представим как со­вокупность уравнений движения всех его материальных точек:

Эти зависимости непригодны для исследования механизмов. Умножив левую и правую части выражения скалярно нa и сложив полученные таким образом для всех точек механической системы уравнения, будем иметь:

_k

Введем понятие обобщенной силы (Q). Обобщенную силу опреде­ляют из выражения элементарной работы δW всех сил на возможном (бесконечно малом, допускаемом связями) перемещении системы или механизма:

,

где — приращение радиус -вектора точки приложения силы ,а q- приращение обобщенной координаты. Но , следовательно, обобщенная сила

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обоб­щенных координат:

׀Q׀=׀W׀/׀g׀.

Преобразуем уравнения движения

Так как сумма представляет кинетическую энергию системы (механизма), уравнения движения системы запишем в виде одного уравнения в обобщенных координатах сле­дующим образом:

.

Для механизмов, степень подвижности которых больше едини­цы, количество этих уравнений, как и число обобщенных сил, равно числу обобщенных координат.

19.2 Кинетическая энергия

Кинетическая энергия является динамической мерой движения любого материального тела. Для механизма она равна сумме кинети­ческих энергий всех его подвижных звеньев.

При вращении звена вокруг неподвижной оси (кривошипа) его кинетическая энергия

,

где J о — момент инерции звена относительно оси вращения О; — уг­ловая скорость звена (для стержня массой т1 и длиной I J0 = т1 12 /3).

Так как центр масс С1 кривошипа не совпадает с центром враще­ния O, то в этом случае

где JC1 — момент инерции звена ОA относительно оси, проходя­щей через его центр масс С1 перпендикулярно к плоскости движе­ния; т1 — масса звена; — расстояние от оси вращения О до центра масс С1 звена (JC1 =т112 /12).

Кинетическая энергия вращающегося звена типа диска, колеса радиусом r и массой , определяется также, а по­скольку центр масс такого звена лежит на оси его вращения, то =0 и J0=Jc =mlr2/2.

Если звено механизма совершает плоскопараллельное движение (шатун), его кинетическая энергия

K₂=

где т2 - масса шатуна; - скорость его центра масс С2; JС2 - мо­мент инерции звена относительно подвижной оси, проходящей через центр масс С2; ω2 — угловая скорость вращения шатуна при плоскопа­раллельном движении.

При поступательном движении звена (ползун) его кинетическая энергия

.

где - масса ползуна; — скорость его центра масс С3.

Для кривошипно-ползунного механизма, имеющего три по­движных звена, кинетическая энергия

.

В общем случае кинетическая энергия всего механизма

19.3 Обобщенные силы механизмов

Обобщенные силы определяются из выражения элементарной ра­боты механической системы. Работа является количественной мерой действия силы при превращении механического движения в другую форму (потенциальная энергия, теплота, электричество и т.д.).

Пусть механическая система состоит из п материальных точек, имеет Wстепеней свободы, т.е. ее положение определяется Wобоб­щенными координатами. Для определения обобщенной силы Qi со­ответствующей обобщенной координате qh сообщим координате бес­конечно малое приращение , не изменяя остальных обобщенных координат. Тогда точки системы (механизма) получат бесконечно ма­лые перемещения, допускаемые связями, т.е. одни из так называемых возможных перемещений системы.

Возможными перемещениями называют воображаемые бесконеч­но малые перемещения, допускаемые наложенными на звенья связя­ми. Поэтому криволинейные перемещения заменяют прямолиней­ными отрезками, отложенными по касательным к траекториям точек . Так, например, возможным перемещением кривошипа является его поворот на бесконечно малый угол вокруг точки О, а точка А его конца должна при этом переместиться по дуге окружности. Воз­можное перемещение точки А представляем в виде прямолинейного отрезка, отложенного по касательной к траектории точки А.

Элементарная работа всех сил механизма при возможном прира­щении одной обобщенной координаты

,

где — силы, действующие на звенья механизма; — возможные перемещения точек приложения соответствующих сил; ( ) — угол между направлениями вектора силы F_k и вектора точки ее прило­жения .

Отношение работы дW_i к приращению обобщенной координаты , представляет собой обобщенную силу Q_i соответствующую обоб­щенной координате q_i.

Для определения обобщенной силы Q_w, соответствующей обоб­щенной координате q_w, сообщим координате бесконечно малое приращение дq_w,, не изменяя остальных обобщенных координат. Далее, ипользуя последнее выражение, определим обобщенную силу Q_w. Число обобщенных сил, как и уравнений Лагранжа второго рода, равно числу обобщенных координат механизма.

19.4 Метод приведения в динамике механизмов

Задача построения динамической модели конструкций роботов, систем управления и автоматики возникает на различных этапах про­ектирования. На начальном этапе, задаваясь ориентировочно масса­ми и жесткостью звеньев, определяют и конструируют передаточные механизмы и выбирают приводы. Затем на этапе компоновки конст­рукции появляется возможность более точно оценить ее динамиче­ские и точностные характеристики, выбрать рациональные компо­новку и параметры конструкции, не прибегая к ее изготовлению. Трудность решения этой задачи на этапе проектирования состоит в том, что для построения динамической модели необходимо знать размеры звеньев, а они известны лишь ориентировочно. Поэтому на практике целесообразно начинать динамические исследования с про­стейших моделей, оценивая их пригодность при решении каждой конкретной задачи. При определении закона движения механизма составляют урав­нение движения и решают его относительно искомого кинематиче­ского параметра (обобщенной координаты, скорости или ускорения). Для механизма с одной степенью свободы, имеющего одно ведущее звено, решение этой задачи значительно упрощается, если все внешние силы и моменты сил, приложенные к различным звеньям, заменить одной приведенной силой, приложенной к одному звену механизма. При этом массы всех подвижных звеньев заменяют динамически эк­вивалентной приведенной массой, связанной со звеном приведения.

Задачу о движении системы звеньев для механизмов с одной сте­пенью подвижности сводят с помощью приведенных сил и масс к за­даче о движении одного звена или одной точки. В качестве звена при­ведения обычно принимают ведущее звено механизма.

Приведенной силой F_np в общем случае называется такая условная сила, элементарная работа которой при возможном перемещении точки приведения равна сумме элементарных работ приводимых сил при соответствующих перемещениях точек приложения этих сил, приведенным моментом сил М_пр называется момент приведенной си­лы F_np.

Точка приложения приведенной силы называется точкой приве­дения, а звено, которому принадлежит эта точка, — звеном приведения. Звено и точка приведения, а также направление F_np могут быть выбра­ны произвольно. В большинстве случаев F_np приводится к точке веду­щего звена механизма и направляется по касательной к траектории точки приведения.

Для механизмов с одной степенью свободы равенство элементар­ных работ приводится к равенству мощностей. Приведенная сила, буду­чи приложенной в точке приведения, развивает мгновенную мощность, равную сумме мгновенных мощностей, развиваемых силами и момента­ми сил, приложенными к звеньям исследуемого механизма. Приведен­ный момент, приложенный к звену приведения, развивает мгновенную мощность, равную сумме мгновенных мощностей приводимых сил и моментов. Для механизма с одной степенью свободы получим:

,

где — скорость точки приложения силы — угол между обычно равный нулю; — сила, приложенная в точке k; х_k — скорость точки приложения силы F_k; — угол между направле­ниями векторов и М_i — момент сил, приложенных к звену i; — угловая скорость звена; n₁ - количество сил, приложенных в точках звеньев механизма; п₂ — количество моментов сил, приложен­ных к звеньям механизма; ω_пр — угловая скорость звена приведения.

Из последних равенств находим приведенные силы и моменты:

F_np и М_пр зависят не только от величины приводимых сил и моментов, но и от отношения скоростей.

Приведенной массой т_пр называется такая условная масса, кото­рая, будучи сосредоточенной в точке приведения А, обладает кинети­ческой энергией, равной кинетической энергии механизма, т.е. K=m_npх²_A/2. Поэтому

Приведенным моментом инерции называется условный момент инерции вращающегося звена приведения, которое обладает кинетической энергией, равной кинетической энергии механизма, т.е.

Учитывая, что , имеем:

где К— кинетическая энергия механизма; ω_пр — угловая скорость зве­на приведения; l_0А — расстояние от точки приведения до оси враще­ния звена приведения.

Приведенная масса и приведенный момент инерции характери­зуют инертность механизма, его быстродействие.

Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий звеньев. Если механизм состоит из п звеньев, из которых движутся поступательно, п₂ вращаются вокруг неподвижных осей и п₃ совершают плоскопараллельное движение, то кинетическая энергия механизма вычисляется по формуле

где m — масса звена; х_c — скорость центра масс звена; J_0j — момент инерции звена./ относительно оси вращения О; ω— угловая скорость звена; J_Ck — момент инерции звена к относительно центра масс С.