6.4 Контактные напряжения

Большие местные напряжения возникают в местах соприкосно­вения действующих друг на друга тел. Напряжения в месте соприкос­новения двух прижатых друг к другу тел называют контактными. В месте соприкосновения тел вследствие деформации материала об­разуется площадка контакта.

По контактным напряжениям рассчитывают фрикционные и зубчатые передачи, элементы кулачковых механизмов. Определе­ние контактных напряжений при малых размерах площадок контакта для тел различной конфигурации (контактная задача) рассматривает­ся в теории упругости. Расчет базируется на следующих допущениях:

• в месте контакта возникают только упругие деформации;

• поверхности соприкасающихся тел идеально гладкие;

• силы давления, распределенные по площадке контакта, нормальны к поверхности контакта;

Рис. 6.4

• на площадке контакта возникают только нормальные напряжения.

При размерах площадок контакта, малых по сравнению с общей поверхностью соприкасающихся тел, для определения контактных напряжений используют зависимости, полученные Г. Герцем. На­пряжения в месте контакта зависят от геометрии соприкасающихся тел. Приведем без вывода расчетные формулы для случая сжатия двух цилиндров (рис. 6.4) радиусами и и длиной по образующей. Считают, что сила прижатия F передается через узкую площадку кон­такта шириной и длиной . Возникающие на площадке нормальные напряжения распределяются по ее ширине в эллиптической зависи­мости, достигая наибольшего значения в точках оси площадки. Как показал Г. Герц, величина наибольших контактных напряжений

,

где — удельная (на единицу длины) нагрузка; - приведенный модуль упругости материалов цилиндров; — коэффициент Пуассона; - при­веденный радиус кривизны цилиндров; знак « - » берут в случае кон­такта выпуклой поверхности радиусом с вогнутой поверхностью радиусом . Для материалов с коэффициентом Пуассона вы­ражение для примет вид:

.

Из формулы следует, что контактные напряжения не явля­ются линейной функцией сжимающей силы и зависят от модуля уп­ругости материала. Они меняются медленнее, чем сама сила, что свя­зано с изменением ширины площадки контакта.

Если размеры площадки контакта соприкасающихся тел значи­тельны и сопоставимы с радиусом кривизны соприкасающихся по­верхностей, имеет место деформация смятия. Например, деформацию смятия рассматривают при определении контактных напряжений ме­жду боковой поверхностью заклепки, болта и цилиндрической по­верхностью отверстия. Считают, что напряжения смятия распределены по площадке контакта равномерно, перпендикулярны к ней и определяются следующим образом:

,

где — сила прижатия контактирующих тел; — площадь смятия.

7 Устойчивость сжатых стержней

7.1 Устойчивость равновесия сжатого стержня

В нагруженных телах при любом деформированном состоянии имеет место равновесие между внешними и внутренними силами. Де­формированное состояние характеризуется формой тела, формой равновесия. Под устойчивостью понимают свойство тела сохранять свою первоначальную форму равновесия.

Рассмотрим формы равновесия при сжатии стержней. При сжа­тии короткого жесткого стержня (рис. 7.1, а) его рассчитывают на прочность и жесткость по формулам для осевого сжатия. При сжатии стержня, имеющего достаточно большую длину по срав­нению с поперечными размерами, возможно следующее. Пока сжи­мающая сила мала и ось стержня (рис. 7.1, б, г) строго прямолиней­на, стержень находится в состоянии устойчивого равновесия. При сжимающей силе, равной некоторому критическому значению ось стержня искривляется (рис. 7.1, в, д). В этом случае начальная (расчетная) прямолинейная форма равновесия становится неустой­чивой. Критической силой называется наименьшее значение сжимаю­щей силы, при котором ось сжатого стержня теряет прямолинейность. По определению Л. Эйлера, критическая сила — это сжимающая сила, требуемая для самого малого наклонения колонны.

Рис. 7.1

Понятие устойчивости не следует смешивать с понятием прочно­сти; каждое из них имеет самостоятельное значение. Например, сжа­тый стержень при действии силы, большей критической, изогнется, но деформации его будут упругими, и после снятия нагрузки он вос­становит свою первоначальную форму. Потеря устойчивости в этом случае не связана с потерей прочности. В иных случаях потеря устой­чивости, изменение формы элемента может привести к разрушению или невозможности выполнения элементом своих функций.

При расчете на устойчивость сжатых стержней прежде всего нуж­но уметь определять критическую силу . Ее рассматривают как пре­дельную нагрузку. Допускаемая нагрузка должна быть, естественно, меньше критической:

,

где — коэффициент запаса устойчивости, значение которого при­нимают большим значения коэффициента запаса прочности , так как учитывают дополнительные неблагоприятные факторы: началь­ную непрямолинейность оси стержня, возможный эксцентриситет действия сжимающей нагрузки и др. Для стальных стержней прини­мают ; для хрупких материалов — до .

Потеря устойчивости является причиной многих аварий и ката­строф; она возможна при кручении, изгибе и сложных деформациях.