5.3 Определение деформаций при изгибе

При изгибе деформация в поперечном сечении стержня (рис. 5.3, а) определяется перемещением у центра масс сечения в направлении, перпендикулярном к первоначальному положению оси стержня, которое называется прогибом, и углом поворота сечения по отношению к первоначальному положению. Для нахо­ждения деформаций во всех поперечных сечениях по длине стержня необходимо получить зависимости и Первую называ­ют уравнением изогнутой оси или уравнением прогибов.

Касательная к изогнутой оси стержня в любой ее точке составит с первоначальной осью угол, равный углу поворота 9 сечения в дан­ной точке. Тангенс угла 9 наклона касательной . Но так как фактические значения углов поворота поперечных сечений при изги­бе малы (порядка тысячных долей радиана), можно тангенс угла при­равнять величине и найти связь между углом поворота се­чения и прогибом в виде зависимости .

Рис. 5.3

Из курса математики известна следующая зависимость для кри­визны К линии, расположенной в плоскости ХОY.

.

Но так как , то это выражение упростим, представив в виде

Свяжем кривизну оси стержня с изгибающим моментом и жесткостью поперечного сечения .

.

Сравнивая полученные выражения кривизны, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

интегрирование, которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. При­нятый ранее знак изгибающего момента (рис. 5.3, б—д) не зависит от направления координатных осей. Кривизна линии положительная, т.е. , если вогнутость кривой совпадает с положитель­ным направлением оси OY (рис. 5.3, б, д), и наоборот (рис. 5.3, в, г). При принятом направлении оси OY вверх знаки правой и левой частей последнего уравнения всегда одинаковы, т.е. при и > 0, а при < 0 и < 0. Поэтому это выражение представим следующим образом:

Для нахождения уравнений, определяющих деформации сече­ний стержня или их угловые и линейные перемещения, необходимо проинтегрировать последнее уравнение. Проинтегрировав его один раз, получим уравнение углов поворота

.

Проинтегрировав уравнение второй раз, получим уравне­ние прогибов

где , — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, каковыми являются условия крепления изгибаемых стерж­ней. Так, для стержня, жестко закрепленного одним концом, в месте крепления должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сече­ния. Для стержня, опирающегося на шарнирные крепления, прогиб равен нулю в местах крепления.

6 Сложные сопротивления. Местные напряжения

6. 1 Понятие о теориях прочности

Нами рассмотрены четыре вида простого нагружения стержней, че­тыре простейших типа их деформаций: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и плоский изгиб. На практике многие детали подвергаются одновременно нескольким простым деформациям, например круче­нию и изгибу, изгибу и сжатию и т.д. Далее рассмотрим расчет на прочность при таком нагружении.

Нагруженные детали механизмов теряют способность выполнять свои функции при наступлении опасного или предельного состояния материала. Для пластичных материалов это состоя­ние связывают с появлением заметных остаточных деформаций, для хрупких — с появлением трещин и началом разрушения. Напряже­ния, соответствующие наступлению опасного состояния материала, зависят от напряженного состояния, обусловленного сово­купностью напряжений для множества площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Большинство материалов разрушается по-разному в зависимости от того, являются напряжения растяги­вающими или сжимающими. Имеются напряженные состояния, при которых материал разрушается хрупко, а есть такие, при которых этот же материал пластически деформируется. При одноосном напряженном состоянии, обусловленном растяжением (сжатием), опасное состоя­ние для пластичных материалов возникает при напряжении, равном условному пределу текучести для хрупких материалов — пределу прочности . Экспериментально установить числовые значения предельных точек перехода материала в опасное состояние при сложных напряженных состояниях практически невоз­можно из-за технических трудностей ведения испытаний при этих со­стояниях и неисчерпаемости возможных типов таких состояний.

Теории прочности предлагают методы оценки меры опасности любого напряженного состояния. Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Одни считают, что опасное состояние наступает при достижении нормальными на­пряжениями предельного значения. Другие рекомендуют за критерий опасного состояния принимать наибольшую относительную дефор­мацию, третьи — величины касательных напряжений. Предлагаемые критерии позволяют сравнивать разнотипные напряженные состоя­ния с опасным состоянием материала при наиболее изученной де­формации — простом растяжении. Напряженные состояния считают равноопасными (равнопрочными), если при пропорциональном увели­чении действующих на тело нагрузок в одно и то же число раз это приводит к опасному состоянию материала. Сравнение напряженных состоя­ний материала проводят по величине эквивалентного (приведенного) напряжения при растяжении. Под эквивалентным понимают на­пряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасным заданному напряжен­ному состоянию.

Физические процессы, происходящие при переходе в опасные состояния, сильно различаются для пластичных и хрупких материа­лов, поэтому существенно могут различаться и условия перехода в эти состояния.

Рассмотрим несколько классических теорий прочности.

Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напря­жений) представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние ма­териала при сложном напряженном состоянии наступит тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигнет величины предель­ного напряжения при растяжении. Практическая проверка не под­твердила этой гипотезы, и первая теория прочности в практических расчетах не применяется.

Вторая теория прочности (теория наибольших деформаций) пред­ставляет собой гипотезу, согласно которой при сложном напряжен­ном состоянии опасное состояние материала наступит, если наиболь­шая по абсолютной величине относительная линейная деформация достигнет значения, соответствующего опасному состоянию мате­риала при растяжении или сжатии. Данная гипотеза дает удовлетво­рительное совпадение результатов расчета и эксперимента для хруп­ких материалов.

Третья теория прочности (теория наибольших касательных напря­жений) представляет собой гипотезу, согласно которой прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения при растяжении, т.е. . Условие прочности материала по этой гипотезе, выраженное в эквивалентных напряжениях при растяжении, имеет вид

,

где — приведенное или эквивалентное нормальное напряжение; , — соответственно нормальное и касательное действующие напря­жения; — допускаемое напряжение материала при растяжении.

Третья теория прочности широко применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Четвертая теория прочности (энергетическая) представляет со­бой гипотезу о том, что опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии возникнет тогда, когда удельная потенци­альная энергия деформации достигнет значения, соответствующего опасному состоянию данного материала при растяжении или сжатии. При расчетах хрупких материалов эта теория неприменима; при ее использовании результаты расчетов хорошо согласуются с опытными данными для пластичных материалов. Условие прочности при ис­пользовании четвертой гипотезы примет вид