Контрольные вопросы

1. Что называется косым изгибом?

2. От чего зависит величина нормальных напряжений в точках поперечного сечения балки?

3. Сила F вызывает косой изгиб консольной балки длины L. Определить нормальные напряжения в точках:

4. Показать (для предыдущего вопроса) положение нейтральной линии при косом изгибе.

5. Сила F, изгибающая прямоугольную балку, наклонена к оси инерции сечения y под углом α. Какая из четырех показанных линий может быть нейтральной?

6. Расчет консольной балки при косом изгибе силой F показал, что нейтральная линия расположена так, как показано на схеме. В каких из четырех отмеченных точек А, В, С, D будут наблюдаться наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения изгиба?

7. Можно ли для изучения косого изгиба использовать балку квадратного или круглого сечения? Ответ обосновать.

8. Как определяются напряжения при косом изгибе опытным путем? Какие допущения при этом используются?

9. С помощью каких датчиков измеряются деформации в исследуемых точках образца в данной работе? На каком принципе основано функционирования этих датчиков?

10. Для чего применяется мостовая схема соединения тензорезисторов?

11. Как изменяются напряжения по сечению однородной балки при чистом изгибе?

12. В какой балке максимальные напряжения больше при прочих равных условиях?

а б

13. Балка с каким поперечным сечением выдерживает больший изгибающий момент при прочих равных условиях?

а б

14. Балка с каким поперечным сечением (см. рис. к предыдущему вопросу) имеет большую массу единицы длины (материал одинаковый)?

15. Что называется нейтральным слоем?

Лабораторная работа №7 определение линейных и угловых перемещений поперечных сечений статически определимой балки при изгибе

цель работы: экспериментальное определение величин прогибов и углов поворота некоторых сечений балки и сравнение полученных значений перемещений с их теоретическими значениями при поперечном изгибе.

Краткие теоретические сведения

Под действием нагрузки балка деформируется. Рассмотрим консоль, нагруженную на свободном конце силой F, линия действия которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения балки (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Схема деформации консольной балки

При деформации балки центры тяжести ее поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Допущение о малости перемещений позволяет считать, что направления линейных перемещений перпендикулярны продольной оси недеформированной балки. Эти перемещения принято называть прогибами. Прогиб произвольного сечения А обозначим v, а наибольшую величину – стрелу прогиба – f. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки, т.е. ось изогнутой балки условно называют изогнутой осью, или упругой линией. Эта линия – плоская кривая, лежащая в силовой плоскости. Совпадение плоскости деформации с силовой плоскостью действия нагрузки является характерной особенностью прямого изгиба, именно по этой причине рассматриваемый случай изгиба называют прямым.

При повороте поперечные сечения остаются перпендику­лярными изогнутой оси бруса, что следует из справедливости гипотезы Бернулли.

Следовательно, угол θ поворота поперечного сечения равен углу между касательной к упругой линии в данной точке и осью недеформированного бруса.

Таким образом, ордината упругой линии и угол наклона ка­сательной, проведенной к ней в данной точке, полностью опре­деляют линейное и угловое перемещения соответствующего поперечного сечения балки; следовательно, отыскание этих перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.

Дифференциальное уравнение упругой линии

Упругую линию балки можно рассматривать как график не­которой функции, определяемой характером нагружения балки, ее размерами и материалом. Сама функция представляет собой текущую ординату упругой линии, а ее аргументом является абсцисса центра тяжести произвольного поперечного сечения балки, т. е.

v=Ф(z). (7.1)

Для определения этой функции воспользуемся зависи­мостью между кривизной К оси балки (кривизной нейтрального слоя) и изгибающим моментом М_х и жесткостью сечения балки при изгибе EJ_х

К= 1/ρ = M_х /(EJ_х). (7.2)

Из курса математики известно следующее выражение кри­визны некоторой кривой, которое для принятой на рис. 7.1 системы координат запишется в виде

К= , (7.3)

где = dv/dz; =d²v/dz².

Подставляя это значение К в выражение (7.2), получим точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии)

= M_х /(EJ_х). (7.4)

Первая производная от функции дает значение тангенса угла θ наклона касательной к графику этой функции и осью z (см. рис.7.1). В пределах упругих деформаций балки эти углы весьма малы – порядка тысячных долей радиана, поэтому квадратом величины по сравнению с единицей можно пренебречь и принять откуда

=d²v/dz² = M_х /(EJ_х). (7.5)

Данное выражение называется приближенным дифференциальным уравнением упругой линии. Для балок постоянного сечения его обычно записывают в виде

EJ_х = M_х. (7.6)

Правая часть зависимости (7.6) представляет собой уравнение изгибающих моментов т.е. аналитическое выражение закона изменения изгибающего момента по длине балки.

Для вычисления углов поворота θ ≈ и прогибов v необходимо произвести интегрирование уравнения (7.6).

Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

EJ_х = , (7.7)

где С – постоянная интегрирования.

Интегрируя второй раз, получим уравнение прогибов

EJ_х v= , (7.8)

где D – вторая постоянная интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки (граничных условий). Так, для балки, заделанной одним концом (см. рис. 7.1), в месте заделки должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для балки, опертой по концам, прогиб должен быть равен нулю и на левом, и на правом конце.

Определив постоянные интегрирования, можно из уравнений (7.7) и (7.8) определить угол поворота и прогиб любого сечения.

Пример. Двухопорная балка длиной l (рис. 7.2) нагружена силой F, расположенной на расстоянии а от левой опоры. Требуется составить уравнение упругой линии и найти перемещение в сечении на расстоянии z.

Решение. Начало координат располагаем на левой опоре. Опорные реакции R_A и R_B соответственно составят

R_A= F ; R_B= F .

Изгибающие моменты на первом и втором участках балки имеют выражения

M₁= F z, (0 ≤ z ≤ a); M₂= F z–F(z–a), (0 ≤ z ≤ l).

Дифференциальное уравнение упругой лини балки имеет вид (7.4)

= M_х /(EJ_х).

После однократного интегрирования находим угол поворота сечения балки на опоре А

θ_A= = .

Угол поворота на правой опоре B:

.

После двукратного интегрирования прогиб в сечении на расстоянии z от левой опоры:

при 0 ≤ z ≤ a

v= ;

при 0 ≤ z ≤ l

v= .

Так как поперечная сила Q имеет разрыв первого рода в точке z=a, то функции M, ,  не могут быть выражены аналитически одним выражением.

Постоянные интегрирования, вошедшие в приведенные выше выражения, определены из граничных условий (условий закрепления балки).

Оборудование, приборы и материалы: лабораторная установка, подвеска с набором грузов, индикаторы часового типа, штангенциркуль, линейка.

Описание установки

Схема установки приведена на рис. 7.2 . Как видно из схемы левая опора А балки 1 прямоугольного поперечного сечения является шарнирнонеподвижной, а правая В – шарнирноподвижной. Материал балки – сталь, Е= 2∙10⁵ МПа, размеры поперечного сечения: ширина b₁ , толщина h.

Рис. 7.2. Схема лабораторной установки

С левым концом балки 1 жестко соединена планка АC длиной r. Нагрузка F на балку 1 создается подвеской 2 с набором грузов 3. Подвеска может перемещаться вдоль балки и крепиться на ней в любом сечении. Прогиб балки фиксируется индикатором 4, корпус которого крепится к подвижной стойке, что позволяет перемещать его вдоль балки и производить измерения в любом ее сечении. Величина угла поворота θ сечения балки на опоре А после приложения нагрузки F приближенно определяется через смещение Δ_С точки С, фиксируемое индикатором 5, корпус которого закреплен на опоре. Так как при изгибе балки в пределах упругих деформаций угол поворота сечения мал, можно с достаточной степенью точности считать длину дуги, описываемой при деформации балки точкой С, примерно равной ее хорде Δ_С. Тогда центральный угол θ этой дуги составит

θ ≈ Δ_С / r.