Свойство дискретного преобразования Фурье.
В целом свойства ДФП аналогичны свойствами непрерывного преобразования Фурье, однако дискретный характер анализируемого сигнала приносит некоторую специфику.
Линейность
Из
формулы (3) очевидно что ДФП является
линейным, то есть если последовательностям
с
одним и тем же периодом N
соответствуют наборы гармоник
,
то последовательности
будет соответствовать спектр
.
Задержка
Если
задержать исходную последовательность
на один такт
,
то, согласно (3), спектр необходимо
умножить на
:
Поскольку
мы считаем последовательность
периодический, рассматриваемый здесь
сдвиг является циклическим:
Симметрия
Как уже отмечалось, спектр дискретного периодического сигнала является периодическим. Кроме того, сохраняется и свойство симметрии, которым обладает спектр непрерывного вещественного сигнала
(5)
Гармоника с нулевым номером (постоянная составляющая), представляет собой сумму отсчетов последовательности на одном периоде:
(6)
Если N четно, то амплитуда гармоники с номером N/2 является суммой отсчетов с чередующимися знаками:
Согласно (5), спектр является «сопряженно-симметричным» относительно N/2, то есть содержит ровно такое же количество информации, что и сам сигнал. В самом деле, исходная последовательность представляется набором из N вещественных чисел. Спектр же представляется набором N/2 (вторая половина взаимно-однозначно связана с первой) комплексных чисел, каждое из которых с информационной точки зрения эквивалентно двум вещественным. Если же исходная последовательность не является вещественной, симметрия спектра отсутствует и N комплексным отсчетам во временной области соответствует N комплексных отсчетов в спектральной области.
ДПФ произведения последовательностей.
Возьмем
две последовательности отсчетов
одинаковой
длины N
и вычислим результат их поэлементно
умножения:
Если применить к этой формуле ДПФ, получится выражение:
(7)
Это
выражение представляет собой круговую
свертку спектров
.
Итак, как и для непрерывного преобразования
Фурье, спектр произведения является
сверткой спектров.
При n=0 из (7) получается дискретный аналог теоремы Рэлея:
(8)
При выводе формулы (8) были использованы соотношения (5) и (6).
Если
кроме того, последовательности
совпадают, то есть
для всех k=0
… N-1,
из (8) получается дискретный аналог
равенства
Парсеваля:
Круговая свертка
Так как мы рассматриваем периодические последовательности, то и суммирование при вычислении свертки таких последовательностей следует производить по одному периоду. Такую операцию называют круговой сверткой:
(9)
Подставив выражение (9) в (3), легко убедиться, что круговая свертка периодических временных последовательностей соответствует перемножению их спектров:
(10)