4. Загальний вигляд простої вибіркової лінійної регресії .

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

=а+bх,

де ­- вирівняне значення у для відповідного значення х.

Константи а і b - константи, які передбачають зменшення суми квадратів відхилень між фактичним значенням у і вирівняним значенням .

(у - )² min

Коефіцієнт а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат.

Коефіцієнт b характеризує кут нахилу цієї прямої до осі абсцис, а також на яку величину зміниться при зміні х на одиницю.

Коефіцієнти а і b знаходять із системи рівнянь, що випливає з формули.

Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної.

5. Суть мнк.

Метод найменших квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. На практиці найчастіше використовується лінійний метод найменших квадратів, що використовується у випадку системи лінійних рівнянь

Найважливішим додатком цього методу є рішення задачі згладжування експериментальної залежності, тобто зображення досвідченої функціональної залежності аналітичною формулою. При цьому метод найменших квадратів не вирішує питання про вибір загального виду аналітичної функції, а дає можливість при заданому типі аналітичної функції у=f(x) підібрати найімовірніші значення для параметрів цієї функції.

На практиці використовуються наступні твердження

– вибіркова частість w=m/n повторної та безповторної вибірки є незсуненою та обґрунтованою оцінкою генеральної частості p=M/N. Її дисперсія відповідно до повторної та безповторної вибірки дорівнює:

  та  

– вибіркова середня  повторної та безповторної вибірки є незсуненою та обґрунтованою оцінкою генеральної середньої . Дисперсії дорівнюють:

 та         (

                                                                      

– вибіркова дисперсія s² вибірки є зсуненою та обґрунтованою оцінкою генеральної дисперсії σ², тобто . Як ми бачимо вона занижує значення генеральної дисперсії, тому, щоб ліквідувати систематичну помилку, достатньо ввести поправку, помноживши s² на , отримаємо виправлену вибіркову дисперсію.

6. Коефіціент кореляції, його властивості, перевірка гіпотези про значущість коефіціента кореляції .

В теорії ймовірностей та математичній статистиці, кореляція є залежністю двох випадкових величин. При цьому, зміна однієї або кількох цих величин призводить до систематичної зміни іншої або інших величин. Математичною мірою кореляції двох випадкових величин слугує коефіцієнт кореляції.

Коефіцієнт кореляції

Нехай та  — випадкові величини з математичним сподіванням μ_X та μ_Y. Їх коефіцієнт кореляції позначається як і дорівнює:^[1]

де:

 — коваріація величин та ,

 — стандартне відхилення величин та .

Властивості

Якщо X та Y — незалежні, то коефіцієнт кореляції дорівнює 0. Зворотнє твердження невірне. Коефіцієнт кореляції може дорівнювати 0 навіть якщо Y є функцією від X.

Завжди виконується нерівність:

.

Причому, тоді і лише тоді, коли , де a та b — сталі.

Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції

Згідно зі схемою статистичного доведення виконуємо таке. 1. Нульова гіпотеза: лінійного зв’язку немає, тоді істинний коефіцієнт кореляції дорівнює нулю:

за двосторонньої альтернативи

2. Вибираємо , наприклад, .

3. Обчислюємо вибірковий коефіцієнт кореляції і будуємо статистику

4. Ця статистика має розподіл Стьюдента з ступенями вільності, а для можна використовувати й стандартний закон розподілу.

5. Знаходимо критичні значення статистики, тобто квантилі розподілу Стьюдента (чи стандартного для великих вибірок) для заданого рівня значущості . Для маємо , а для – наближену формулу , де - обернена функція стандартного закону розподілу.

6. Перевіряємо критерій: якщо , то нульову гіпотезу відхиляємо, тобто існує суттєвий лінійний зв’язок між даними (дані корелюють). На практиці зручнішою є формула, яка дає критичне значення самого коефіцієнта кореляції. З рівняння статистики можна визначити Ця формула дає змогу один раз відшукати критичне значення коефіцієнта кореляції (для фіксованого і ) і використовувати його в наступній серії порівнянь парних коефіцієнтів кореляції з критичним, наприклад, для перевірки на значущість коефіцієнтів кореляційної матриці.

Коефіціент детермінації, його властивості. Звязок між коефіціентом кореляції і коефіціентом детермінації для простої лінійної регресії .

Загальні характеристики

Коефіцієнт детермінації (R2)показує частку зміни (варіації) результативної ознаки під дією факторної ознаки. Розраховується за формулою:

Він може варіювати від 0 до 1. Чим ближче він до 1, тим адекватніше встановлена тенденція, і, відповідно, тіснішим є зв'язок вибраного тренду та динамічного ряду. Виходячи з величини коефіцієнта детермінації, в статистичній практиці прийнято застосовувати таку градацію відповідності тренду динамічному ряду: 0 - відсутність зв'язку; до 0,3 - слабка; від 0,3 до 0,6 - середня; від 0,7 до 0,9 - висока; від 0,9 до 1. - вибраний тренд повністю відповідає динамічному ряду. Потрібно також врахувати, що в Excel значення R2He є повністю коректним, але для цілей визначення адекватності вибраної функції цим можна знехтувати.

Отже коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції. Тому коефіцієнт кореляції може розраховуватись за формулою:

, або    ,

де σ_y² – загальна дисперсія ознаки y,   ,

σ_yx² – середній квадрат відхилення фактичних значень ознаки y від теоретичних значень y_x,    .

Якщо коефіцієнт кореляції розраховується як корінь із коефіцієнта детермінації, то йому присвоюється той знак,який має коефіцієнт a₁ , тобто коефіцієнт регресії в рівнянні прямолінійного зв’язку.