Вопрос 24.
Число подмножеств конечного мн-ва.
Рассмотрим
множество
,
состоящее из N элементов:
}.
Попробуем
закодировать любое его подмножество
двоичной последовательностью, состоящей
из 0 и 1: если элемент
входит в подмножество, то первая цифра
последовательности равна 1, если нет –
0. Точно также поступаем для второго
элемента, третьего и т.д. Для каждого
подмножества получаем свою последовательность
из
нулей и единиц. Так, в рассмотренном
выше примере получим следующие
последовательности для каждого из
восьми рассмотренных подмножеств:
пустое множество – 000;
одноэлементные подмножества – 100, 010, 001;
двухэлементые подмножества – 110, 011, 101;
трехэлементное подмножество – 111.
Таким
образом, каждому подмножеству соответствует
своя двоичная последовательность длины
,
а каждой такой последовательности –
свое подмножество. Количество двоичных
последовательностей длины
мы уже считали ранее, когда изучали
правило умножения – их будет
.
Значит, и подмножеств будет ровно столько
же:
количество подмножеств N-элементного множества = .
Пример 1
Рассмотрим множество всех натуральных чисел. В математике его обозначают всегда буквой (от слова natural). Понятно, что оно бесконечно.
В этом множестве есть много интересных подмножеств, некоторые из которых вам хорошо знакомы: подмножество всех четных чисел, подмножество всех простых чисел, подмножество чисел Фибоначчи. А есть и много других: совершенные числа, числа Мерсенна и т.д.
Поскольку само множество бесконечно, то и бесконечным будет и количество его подмножеств.
Пример 2
В математике рассматривают не только числовые множества. Так, в геометрии можно рассматривать множества различных фигур. Например, множество всех квадратов, которые можно нарисовать в данной плоскости; множество всех прямоугольников; множество всех параллелограммов и т.д.
Все перечисленные множества можно рассматривать как подмножества в множестве всех многоугольников.