Вопрос 4.

Симметричные и антисимметричные отношения

Отношение R называется симметричным, если вместе с каждой парой (x,y) оно содержит также и пару (y, x), то есть xRy выполняется тогда и только тогда, когда выполняется yRx. Отношение R симметрично, если наличие (или отсутствие) связи между элементами x и y не зависит от порядка, в котором указаны эти элементы.

Например, отношение x+y>0 – симметрично, а отношение x+2y>0 – нет.

Отношение R называется антисимметричным, если одновременное выполнение условий xRy и yRx невозможно при x≠y, то есть, если xRy и yRx, то x=y.

Н апример, отношение x≤y антисимметрично.

Отношение R антисимметрично, если любой (x; y) R, (y, x) R

П ара (3; 5) R, а пара (5, 3) R

В антисимметричном отношении нет пар, где элементы равны.

или

Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством симметричности, если влечет за собой для всех .

Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством антисимметричности, если , , влечет за собой для всех .

Вопрос 5.

Транзитивные и связные отношения.

Отношение R называется транзитивным, если вместе с любыми парами (x, y) и (y, z) оно содержит также и пару (x, z).

Отношение x<y – транзитивно, а отношение x+y>0 – нет.

Пример: если 1<3, 3<5, то 3<5.

или

Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством транзитивности, если и влечет за собой для всех .

Говорят, что бинарное отношение на множестве обладает свойством связности, если или для всех .

Пример 5. Отношение делимости целых чисел

является

• рефлексивным: любое целое число делится на себя, то есть ;

• транзитивным: если делится на , а делится на , то делится на .

• Антисимметричным: 10:2, а 2 не дел. на 10

но не является связным мн-ом (3 не делется на 8 и 8 не делется на 3)

Пример 6. Отношение порядка из примера 3(На множестве действительных чисел упорядочение является бинарным отношением на , состоящим из всех точек плоскости , лежащих не ниже прямой ) обладает свойствами

• рефлексивности;

• транзитивности;

• антисимметричности;

• связанности.

Вопрос 6.

Отношение эквивалентности: определение, примеры.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (~).

П ростейшим примером отношения эквивалентности на множестве X может служить отношение равенства.

Пример: параллельность а в с

или

Пусть — некоторое бинарное отношение на множестве . Будем говорить, что — отношение эквивалентности, если оно одновременно удовлетворяет свойствам

1. рефлексивности ХХ (: для всех ;

2. симметричности ХУ  УХ: для всех ;

3. транзитивности ХУ и УZ  ХZ: для всех .

В этом случае вместо употребляется запись , где .

Т.е. отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям: каждый элемент эквивалентен сам себе, не важен порядок, в котором рассматриваются эквивалентные элементы, и если два элементы эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой.

Пример 1. Отношение равенства на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.

Пример 2. Отношение на множестве является отношением эквивалентности.

Всякому разбиению мн-ва X отвечает отношение эквивалентности, задаваемое следующим образом: x ~ y в том и только в том случае, когда x и y содержатся в одном общем подмножестве из разбиения.

Примеры:Отношение "быть синонимом" на множестве слов русского языка;

Отношение "иметь одинаковый остаток при делении на 3" на множестве целых чисел;

Отношение "быть параллельной" на множестве прямых одной плоскости.

Отношение "быть братом" на множестве людей.

Если x и y связаны отношением R, то часто вместо (x,y)∈R пишут xRy. Например, для отношения «равно» и отношения «меньше» на множестве действительных чисел вместо (x,y)∈= и (x,y)∈< принято писать соответственно x=y и x <y. Эти два отношения являются примерами двух важнейших классов бинарных отношений – отношений эквивалентности и отношений порядка.