Вопрос 22.

Сочетания без повторений.

Сочетанием из элементов по называется комбинация, в которой из этих элементов выбраны любые без учета их порядка в комбинации. Таким образом, для сочетания имеет значение только состав выбранной комбинации, а не порядок следования элементов.

На языке теории множеств сочетание из по представляет собой не что иное, как -элементное подмножество -элементного множества.

Пример

Коля, Оля, Артем и Наташа разыгрывают по жребию два билета в кино. Элементарными исходами этого опыта будут все возможные комбинации, в которые входят любые два человека из четырех перечисленных. При этом их порядок в комбинации не имеет значения: КО, КА, КН, ОА, ОН, АН

(обозначили каждого человека первой буквой его имени). Это сочетания из четырех по два.

Чтобы найти общее количество сочетаний, мы снова обратимся к правилу деления. Чем отличаются друг от друга размещения? Составом выбранных элементов и их порядком в комбинации. Чем отличаются друг от друга сочетания? Только составом. Значит, каждому сочетанию соответствует ровно размещений с тем же составом (ведь упорядочить элементов можно способами). Поэтому, чтобы найти количество сочетаний, которое принято обозначать (читается – «цэ из эн по ка»), нужно поделить количество размещений на (при подсчете размещений мы считали каждое сочетание раз):

Пример 2

Из класса, в котором учится 25 учеников, нужно выбрать троих для участия в школьной олимпиаде. Сколькими способами можно это сделать?

Поскольку при любом нашем выборе имеет значение только состав выбранной тройки учеников, то каждый вариант выбора – это сочетание из 25-ти по 3, а их общее количество - .

Пример 3

Вернемся к примеру с замком, который открывается нажатием на определенные три кнопки из десяти. Поскольку порядок нажатия кнопок не имеет значения (точнее, они вообще должны нажиматься одновременно), то каждый возможный шифр замка представляет собой сочетание из 10-ти по 3. Общее количество таких шифров будет .

Пример 4

Сочетание из 36 по 6 (карты или лотерея). Общее количество вариантов –

.

Вопрос 23.

Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Числа обладают целым рядом замечательных свойств, перечислять которые можно очень долго. Мы выделим здесь только некоторые:

1. 

2. 

3. 

4. Если и , то .

Все эти свойства можно доказать аналитически, используя только что выведенную формулу для , но интереснее провести их комбинаторное доказательство:

1. Выбрать 0 (так же, как и все ) элементов из возможных можно только одним способом.

2. Выбрать элементов из – это все равно, что указать те элементов, которые мы не выбираем.

3. Любое сочетание из по является -элементным подмножеством -элементного множества. Число - это количество таких подмножеств. Сумма таких чисел по всем от 0 до дает (по правилу сложения) количество всех возможных подмножеств -элементного множества.

Теперь посчитаем это же количество по-другому. Любое подмножество -элементного множества можно закодировать двоичной (т.е. состоящей из 0 и 1) последовательностью длины : на -м месте стоит 1, если -й элемент входит в это подмножество, 0 – если не входит. А всего таких последовательностей (а значит и всех возможных подмножеств) по правилу умножения .

Зафиксируем какой-то один из элементов нашего множества и обозначим его . Все -элементные подмножества можно разбить на два непересекающихся класса: содержащие и не содержащие . Количество подмножеств, содержащих , можно посчитать так: один элемент уже выбран, остается выбрать еще элемент из – это можно сделать способами. Количество подмножеств, не содержащих , можно посчитать так: элемент выбирать нельзя, значит, нужно выбрать элементов из – это можно сделать способами. По правилу сложения общее количество -элементных подмножеств будет равно .

Последнее из доказанных свойств позволяет вычислять числа не по выведенной ранее формуле с факториалами, а рекуррентно, последовательно выражая числа с бóльшим значением через предыдущие: Шаг 1. Найдем Шаг 2. Найдем . Выразим через уже известные: Шаг 3. Найдем . Выразим через уже известные: , … и так далее. Процесс вычисления чисел удобно организовать в виде таблицы (еще одно применение таблиц!): будем заносить в -ю строку этой таблицы все числа . Поскольку в -ой строке будет таких чисел, то таблица получится «треугольной»: k N 0 1 2 3 4 5 6 … 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . Причем закономерность заполнения клеток в этой таблице очень простая: в первую клетку очередной строки ставим 1, а в каждую следующую – сумму чисел стоящих в предыдущей строке левее и над ним (например: 2 = 1 + 1); заканчиваем строку также 1. Полученная треугольная таблица получила название треугольник Паскаля, по имени великого французского математика Блеза Паскаля, изучавшего свойства этого треугольника и использовавшего его при решении вероятностных задач.

Если составить треугольник из кружков, как показано на рисунке слева, то общее число кружков в таком треугольнике будет (считаем, что в нем слоев): По этой причине числа , стоящие во втором столбце треугольника Паскаля, принято называть треугольными.