Вопрос 11.

Разбиение мн-ва на классы с помощью отношения эквивалентности

Отношение эквивалентности P на мн-ве А определяет некоторое разбиение этого мн-ва. Любые два класса эквивалентности по отношению к P либо не пересекаются, либо совпадают.

Всякому разбиению множества X отвечает отношение эквивалентности, задаваемое следующим образом: x~y в том и только том случае, когда x и y содержатся в одном общем подмножестве из разбиения.

Любое отношение эквивалентности однозначно определяет некоторое разбиение.

Если рассматривать М как множество, на котором введено отношение эквивалентности, то подмножество элементов, эквивалентных некоторому элементу из М называется классом эквивалентности. Если рассматривать на множестве студентов отношение «быть в одной группе», то группа, в которой учится студент Иванов, будет классом эквивалентности, эквивалентным студенту Иванову.

Из свойства транзитивности отношения эквивалентности следует, что все студенты, принадлежащие одному классу эквивалентности, эквивалентны между собой и всякий элемент из М может находиться только в одном классе. Но в таком случае полная система классов эквивалентности является разбиением множества. Т.о. каждому отношения эквивалентности на множестве М соответствует некоторое разбиение множества М на классы. Эти понятия называют сопряженными.

Вопрос 12.

Задание отношения эквивалентности с помощью разбиения на классы

Любые два не совпадающих класса эквивалентности не пересекаются. Так как для любого х А справедливо х [х]_p (поскольку хрх), т.е. каждый элемент мн-ва А принадлежит некоторому классу эквивалентности по отношению Р, то мн-во всех классов эквивалентности по отношению Р образует разбиение исходного мн-ва А.

Вопрос 13.

Отношения предпорядка и порядка: определение и примеры.

Пусть R – бинарное отношение А.

Бинарное отношение R на мн-ве А называется отношением порядка на А, если оно транзитивно и антисимметрично.

Бинарное отношение R на мн-ве А называют отношением предпорядка на А, если оно рефлексивно на А и транзитивно.

Пример:

1)Отношение делимости во мн-ве целых чисел не является порядком. Однако оно рефлексивно и транзитивно, значит является предпорядком.

2)На некотором множестве людей отношением предпорядка являются: а) рост одного человека больше или равен росту другого; б) вес одного человека больше или равен весу другого

Вопрос 14.

Отношения строгого и нестрогого порядка.

Отношение строгого порядка – это бинарное отношение на множестве Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1. Х<Х – антирефлексивность

2. Х<У и У<Х – несимметричность

3. Х<У и У<Z  Х<Z - транзитивность

Отношение нестрогого порядка:

Примеры отношения строгого порядка:

отношение  на множестве действительных чисел;

отношение  на множестве подмножеств данного множества.

Отношение нестрогого порядка – это бинарное отношение на множестве Х, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ХХ – рефлексивность

2. ХУ и УХХ=У – антисимметричность

3. ХУ и УZ  ХZ – транзитивность