Вопрос 7.

Класс эквивалентности

Если на непустом множестве задано отношение эквивиалентности, то мн-во разбивается на классы.

Всякому разбиению мн-ва X отвечает отношение эквивалентности, задаваемое следующим образом: x ~ y в том и только в том случае, когда x и y содержатся в одном общем подмножестве из разбиения.

Подмножество называется классом эквивалентности, содержащим . Любой элемент называется представителем класса .

Пусть p – отношение эквивалентности на мн-ве А и х А. Мн-во всех элементов А, эквивалентных х, т.е. мн-во { y: ypx} , называется классом эквивалентности по отношению p и обозначается [х]_p. В силу рефлексивности для любого элемента х А класс эквивалентности не пуст, так как х [х]_p.

Пример: мн-во четных чисел образуют класс эквивалентности для отношения делимости.

Вопрос 8.

Равенство классов эквивалентности, порожденных эквивалентными элементами.

Любые два класса эквивалентности, порожденные эквивалентными элементами, совпадают.

Каждый элемент класса x принадлежит классу y и обратно.

В силу транзитивности отношения p получим xpy. Пусть h [х]_p, тогда hpx . Так как xpy, то hpy и, следовательно, h [y]_p.

Обратно, если h [y]_p, то в силу симметричности p получим hpy, ypx и в силу транзитивности – hpx, то есть h [х]_p. Таким образом, [х]_p=[y]_p.

Вопрос 9.

Непересечение различных классов эквивалентности

Пусть два класса эквивалентности [х]_p и [y]_p имеют общий элемент z [х]_p . Тогда zpx и zpy. В силу симметричности отношения P имеем xpz, и тогда xpz и zpy.

Вопрос 10.

Разбиение мн-ва на классы с помощью свойств.

Чтобы дать формальное определение разбиения множества рассмотрим некоторое множества М и систему множеств ММ = {1…n}

Определение: Система ММ называется разбиением множества М, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. любое множество из ММ является подмножеством М

2. Любые два множества из ММ являются непересекающимися

3. Объединение всех множеств из ММ дает М.

Набор подмножеств называется разбиением множества , если

1. для любых различных ;

2. .

Предложение 1. Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества .

Данное предложение означает, что любые два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются и любой элемент множества принадлежит какому-либо классу эквивалентности.

Предложение 2. Любое разбиение множества определяет некоторое отношение эквиваленитности .

Пусть А – произвольное мн-во. Семейство (В_i) _i ^I непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением мн-ва А.

С ами мн-ва В_i называют элементами (или членами) разбиения (В_i) _i ^I

А В₂ В₃ А = В₁ В_{2 …..} В_n

В₁ Вn

Пример:1) мн-во целых чисел (четные, нечетные)

2)Мн-ва [0; 1/3), [1/3; 2/3) и [2/3; 1] образуют разбиение отрезка [0; 1].