3.3 Элементы графов

Граф без кратных ребер называют полным, если каждая пара вершин соединена ребром.

Граф H называют частью графа G, если множество вершин графа H принадлежит множеству вершин графа G и множество рёбер графа H принадлежит множеству рёбер графа G, т.е.:

V(H)  V(G); E(H)  E(G).

Часть графа H называется суграфом, если она содержит все вершины графа G.

Суграф H для неориентированного графа G называется покрывающим суграфом, если любая вершина последнего инцидентна хотя бы одному ребру из H.

Подграф G(U) графа G на множестве вершин U ( U  V ) – это часть графа, которой принадлежат все ребра с обоими концами из U.

Звёздный граф для вершины v (v  G) состоит из всех рёбер с началом и концом в вершине v. Множество вершин звёздного графа состоит из вершины v и других смежных с ней вершин.

3.4 Операции с частями графа

1 Дополнение

Если задан граф G и его часть H , то дополнение части H

содержит ту часть ребер графа G (и инцидентных им вершин), которая не принадлежат H.

2 Объединение

H1  H2 = H;

V(H) = V(H1)  V(H2), E(H) = E(H1)  E(H2),

где V(H), V(H1), V(H2), – множества вершин соответствующих графов;

E(H), E(H1), E(H2), – множества рёбер этих же графов.

__

H  H = G (объединение части графа и его дополнения).

3 Пересечение

H1  H2 = H;

V(H) = V(H1)  V(H2), E(H) = E(H1)  E(H2) (если H1 и H2 не имеют общих вершин, то эта операция не определена).

Маршрутом в единичном связном графе G называется такая конечная последовательность ребер (e_1,e_2….e_n), в которой каждые два соседних ребра имеют общую инцидентную вершину.

Вершина v_о, инцидентная ребру e₁ и не инцидентная ребру e₂, называется началом маршрута в графе G.

Вершина v_n, инцидентная ребру e_n и не инцидентная ребру e_n-1, называется концом маршрута.

Число ребер маршрута называется его длиной.

Если вершины v_о и v_n совпадают, то маршрут называется циклическим (или просто циклом).

Отрезок конечного или бесконечного маршрута сам является маршрутом.

Маршрут в графе G называется цепью, если все ребра в последовательности различны, и простой цепью, если все вершины, через которые проходит маршрут (а значит и ребра) различны.

Другими словами, в цепи ребро может встретиться не более одного раза, а в простой цепи вершина – не более одного раза.

Говорят, что две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их цепь. Граф, в котором все вершины связаны, называется связным.

Расстоянием между двумя вершинами графа называется минимальная длина простой цепи, связывающей эти вершины (обозначение d(v,v)).

Протяженностью между двумя вершинами графа называется максимальная длина простой цепи, связывающей эти вершины (обозначение g(v,v)).

В частном случае расстояние и протяженность между вершинами могут быть одинаковыми.

3.5 Диаметр, радиус и центр графа

Рассмотрим единичный связный неориентированный граф G.

Минимальная длина простой цепи с началом в v, и концом в vназывается расстоянием между этими вершинами.

Диаметр графа – максимальное из расстояний между любыми парами вершин графа: D(G) = max d(v,v).

v',v"  G

Если принять за точку отсчёта расстояний одну из вершин графа G (например v_i ),то максимальное из расстояний от v_i до любой из вершин графа G называется удалением от этой вершины:

r(v_i) = max d(v_j).

v_j  G

Вершина v_i называется центром графа, если удаление от неё принимает минимальное значение(таких вершин в графе может быть несколько). Удаление от центра называется радиусом графа:

r(G) = min r(v_i).

v_i  G

Любая простая цепь связывающая центр с максимально удаленной от него вершиной называется радиальной цепью.

Рассмотрим на примере определение этих параметров графа (анализ графа на минимум).

Пример: Задан единичный неориентированный граф G:

V = {a, b, c, d, e, f}; E = {ab, ac, bc, cd, ce, de, ef}.

Определить диаметр, центр (центры) и радиус этого графа.

Решение

Для определения этих параметров изобразим граф и составим матрицу расстояний: (на пересечении столбца и строки (вершины графа) матрицы указывается расстояние между этими вершинами; такая матрица (выделена на рисунке) симметрична относительно главной диагонали).

В столбце с заголовком r(v_i) укажем удаления от соответствующих вершин (максимальное значение расстояния каждой строки).

Вершины	a	b	c	d	e	f	r(vi)	Центр
a	0	1	1	2	2	3	3	Нет
b	1	0	1	2	2	3	3	Нет
c	1	1		1	1	2	2	Да
d	2	2	1	0	1	2	2	Да
e	2	2	1	1	0	1	2	Да
f	3	3	2	2	1	0	3	Нет

Максимальное из удалений и будет диаметром графа (т.е. максимально возможным расстоянием между вершинами в исследуемом графе): D(G)= 3.

Вершины, для которых удаление r(v_i) принимает минимальное значение (помечены в последнем столбце «Да» ), являются центрами графа G, а значение удаления – радиусом графа:

r(G) = 2.

Если ребра графа нагружены (каждому ребру поставлено в соответствие определенное числовое значение), то процедура исследования аналогична описанной выше, но при заполнении матрицы нужно определять расстояние между вершинами не по числу ребер, а по суммарной их длине.