1.2 Множества. Способы задания множеств

Язык множеств – универсальный язык математики. Любое математическое утверждение можно сформулировать как утверждение о некотором соотношении между множествами: о равенстве двух множеств, о не пустоте некоторого множества, о не принадлежности элементам множества. Понятие "множество" – одно из базовых понятий в математике и не может быть определено через другие понятия. Интуитивно множество можно определить как совокупность предметов, понятий, явлений, множеств,..., объединенных одним или несколькими свойствами. В множестве не может быть одинаковых элементов. Порядок следования элементов в множестве не важен.

Множества, подмножества будем обозначать большими буквами латинского алфавита (A, B, C, D...), а элементы множеств – малыми (a, b, c, d...).

Множество B называется подмножеством A, если любой элемент B является элементом A. Этот факт можно записать следующим образом:

В  А.

Множества могут быть конечными (состоять из конечного числа элементов) и бесконечными. Примеры бесконечных множеств – множество натуральных чисел N (N={1,2,3,4...}), множество натуральных чисел с включением нуля N_o (No={0,1,2,3...}). Примеры конечных множеств будут приведены ниже.

Число элементов в конечном множестве М называется мощностью множества и обозначается | М | или n (M). Множество мощностью 0 т.е. множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается так: М = { } или М = 0. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества, в том числе и пустого.

1 Списком элементов: A = {a, b, c, d}; S = {Иванов, Петров, Сидоров}.

2 Порождающей процедурой:

M = {(x, y)| x² + y² = 1} (задана окружность радиуса R=1);

K = {(a,b)|, a  А и b  B} (задано произведение двух множеств);

D = A  B = { x |, x А или x В } (задано объединение двух множеств).

3 Описанием характеристических свойств, которыми должны обладать элементы множества:

• Все студенты ДГМА.

• Футбольная команда “Шахтер”.

• Жители города Краматорска.

1.3 Операции над множествами

1 Объединение множеств

Объединением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из объединяемых множеств:

A  B = { а | а  A или а  B}.

Операция "объединение" n-арная (т.е. применима к n множествам), коммутативная (при перестановке объединяемых множеств результат выполнения операции не изменится).

: A = {a, ab, ac, c}; B = {ac, ba, b, c}; C = {b, f};

D = A  B  C = C  B  A = {a, ab, ac, c, ba, b, f}.

2 Пересечение множеств

Пересечением множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из объединяемых множеств:

A  B = { a | a A и a  B }.

Операция "пересечение" n-арная (т.е. применима к n множествам), коммутативная (при перестановке пересекаемых множеств результат выполнения операции не изменится).

A = {a, b, c, f}; B = {b, c, n}; C = {d, f, n};

D = A  B = {b,c}; B  C = { n };

Е = A  B  C = B  C  A = { }.

3 Разность множеств

Разностью двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих первому множеству и не принадлежащих второму множеству:

A \ B = { а | а  A и а  В }.

Операция "разность" бинарная (т.е. применима к двум множествам), некоммутативная (при перестановке вычитаемых множеств результат изменяется):

A \ B  B \ A.

Пример: A = {a, c, d, e, f}; B = {a, d, m};

D = A \ B = {c, e, f}; C = B \ A = { m }.

4 Дополнение множеств

Дополнением множества А (до универсального множества W ) называется множество, состоящее из всех элементов множества W, которые не входят в множество А:

__

А = { a | a  W и  A }.

Операция "дополнение" унарная (т.е. применима к одному множеству или части формулы, которую можно трактовать как одно множество). Операцию "разность" в формулах можно заменить:

__

A \ B = A  B.

Пример:

W = {a, c, d, e, f, k}; B = {c, e, f}; A = {a, c};

__ __

В  B = W; В  B = { } (пусто);

__

D = A \ B = A  B = { c }.

Используя множества, операции 1 – 4 и скобки, которые меняют порядок выполнения операций, можно составлять формулы. Наибольший приоритет при выполнении имеет операция "дополнение", затем "разность" после этого две операции одного приоритета – "объединение" и" пересечение"; операции одного приоритета выполняются в формуле по порядку слева направо; если в формуле есть скобки, то сначала выполняются операции в скобках в соответствии с их приоритетом; если знак дополнения стоит над частью формулы, то считают, что та часть взята в скобки (хотя скобки на самом деле могут отсутствовать). В задачах контрольных работ в формулах используются только три подмножества: А, В, С или P, Q, R универсального множества W.

Очень удобным является наглядное представление таких формул с помощью диаграмм Венна. Диаграмма в общем виде – это прямоугольник, представляющий универсальное множество W с тремя пересекающимися окружностями внутри; область, заключенная в каждой окружности, представляет соответственно множества А, В, С. В результате таких построений площадь прямоугольника разбивается (в самом общем случае) на восемь связных областей, каждая из которых или произвольная их комбинация может быть описана бесконечным множеством формул. Одним из способов упрощения формул при выполнении упражнений и задач контрольных работ является последовательное построение диаграмм Венна, соответствующих выполнению каждой операции в формуле, с целью определения того набора областей, которым соответствует формула, а затем их описания более простой формулой, если это возможно.

5 Прямое произведение множеств

Прямым или декартовым произведением множеств называется множество, элементами которого являются векторы, составленные из элементов перемножаемых множеств: первые компоненты векторов – элементы первого множества, вторые – второго и т.д. Для двух множеств процедура имеет вид:

A  В = {(а,b) | a  A и b  B}.

A = {a,b,c,.....,h}; B = {1, 2, 3,....., 8};

D = A  B = {(a,1); (a,2); (a,3);... (h,8)}.

Допускается запись D = A  B = {a1; a2; a3;... h8}.

Вектор – упорядоченный набор элементов. Элементы, образующие вектор называются координатами или компонентами вектора. Число координат называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества координаты вектора могут быть одинаковыми.

Пример: B = (0,3,5,3) – вектор размерности 4;

С = (0,3,3,5) – вектор размерности 4.

Векторы В и С различны, т.к. порядок следования координат разный.

Операция 5 многоместна (перемножать можно несколько множеств) и некоммутативная. В качестве сомножителей может выступать одно и то же множество, т.е. множество можно возводить в n–ю степень.

В качестве примера рассмотрим случай, когда элементами множества являются символы, например: V = {a, b, c}. Такое множество будем называть алфавитом. При возведении этого множества в квадрат получим новое множество, состоящее из двухсимвольных цепочек или слов (элементы – векторы записываются без скобок и разделяющих запятых) V² = V  V = {aa, ab, ac, ba,..., cc}. При возведении алфавита в куб (последнее множество умножаем на V) получаем трехсимвольные слова–цепочки и т.д. Алфавит в нулевой степени представляет собой множество, состоящее из одного элемента – пустой цепочки (обозначение  – эпсилон): V⁰ = {  }.

Длина цепочки равна количеству элементов, образующих эту цепочку. Пустую цепочку  можно вставить в любое место других цепочек, не изменяя их:

 а = 1;  aba  = 3;  aba  = 3;    = 0.