- •5.3 Задачи к главе 5 56
- •6.4 Задачи к главе 6 67
- •7.5 Задачи к главе 7 85
- •1 Элементы теории множеств и отношений
- •1.1 Условные обозначения, принятые в тексте
- •1.2 Множества. Способы задания множеств
- •1.3 Операции над множествами
- •1.4 Действия с цепочками
- •1.5 Число элементов множества
- •Решение
- •1.6 Отношения
- •Решение
- •1.7 Свойства бинарных отношений
- •1.8 Операции с бинарными отношениями
- •1.9 Упражнения и задачи к главе 1
- •2 Элементы алгебры логики
- •2.1 Простые высказывания; логические связки
- •2.2 Составные высказывания. Таблицы истинности
- •2.3 Логические законы
- •2.4 Построение заданных составных высказываний
- •2.5 Отношения между высказываниями
- •2.6 Аргументы
- •2.7 Задачи на построение таблиц истинности
- •3 Элементы теории графов
- •3.1 Общие понятия и определения
- •3.2 Способы задания графов
- •3.3 Элементы графов
- •3.4 Операции с частями графа
- •3.5 Диаметр, радиус и центр графа
- •3.6 Диаметр протяженности, радиус протяженности и центр протяженности графа
- •3.7 Задачи к главе 3
- •4 Теория конечных автоматов
- •4.1 Конечные автоматы – распознаватели
- •4.2 Эквивалентные состояния ка
- •4.3 Недостижимые состояния ка
- •4.4 Недетерминированный конечный автомат
- •4.5 Задачи к главе 4
- •5 Автоматы с магазинной памятью
- •5.1 Автоматы-распознаватели с магазинной памятью
- •5.2 Автоматы–трансляторы с магазинной памятью
- •Параметры мп-транслятора:
- •5.3 Задачи к главе 5
- •6 Грамматики
- •6.1 Общие сведения
- •6.2 Классификация грамматик
- •6.3 Эквивалентные преобразования грамматик
- •6.3 1 Удаление или добавление бесполезных (непродуктивных и недостижимых) нетерминалов
- •Решение
- •6.3.2 Добавление нетерминала
- •6.3.3 Подстановка правил
- •6.3.4 Изменение направления рекурсии
- •6.4 Задачи к главе 6
- •7 Распознаватели для грамматик
- •7.1 Построение ка–распознавателей для автоматных
- •Решение
- •7.2 Построение ка–распознавателей для праволинейных грамматик
- •7.3 Построение мп–распознавателей для s – грамматик
- •7.4 Построение мп–распознавателей для q – грамматик
- •7.5 Задачи к главе 7
2.4 Построение заданных составных высказываний
В ряде практических случаев возникает необходимость построения составных высказываний с заданной таблицей истинности. Один из методов построения дает следующая теорема.
Теорема. Всякая логическая функция, кроме const "0", может быть представлена в виде дизъюнкции основных конъюнкций. Такое представление называется "совершенной дизъюнктивной нормальной формой" представляемой функции (СДHФ); const "0" можно представить как p /\ ~p.
Таблица основных конъюнкций для трех аргументов
-
p
q
r
Осн. конъюнкции
Строка ист.
1
1
1
p /\ q /\r
1
1
1
0
p /\ q /\~r
2
1
0
1
p /\ ~q /\r
3
1
0
0
p /\ ~q /\~r
4
0
1
1
~p /\ q /\r
5
0
1
0
~p /\ q /\~r
6
0
0
1
~p /\ ~q /\r
7
0
0
0
~p /\ ~q /\~r
8
Основная конъюнкция истинна только в той строке, в которой она находится. Для того, чтобы получить функцию с заданной таблицей истинности, достаточно выбрать в таблице основные конъюнкции из строк, в которых значения функции равны 1, и связать их знаками дизъюнкции.
Пример: Построить составное высказывание, которое истинно в строках 2 и 6 (т.е. с таблицей истинности 01000100).
A = (p /\ q /\ ~r) \/ (~p /\ q /\~r) – выбираем из таблицы основные конъюнкции из строк 2 и 6 и связываем их дизъюнкцией.
Полученное высказывание можно упростить, используя теоретико–множественное преобразование высказывания (будет рассмотрено ниже).
2.5 Отношения между высказываниями
Как было сказано выше, высказывание (простое или составное) полностью характеризуется таблицей истинности (число строк в этой таблице определяется по формуле 2n, где n – количество простых высказываний в составном высказывании). Значение в каждой строке – "0" или "1". Если возникает необходимость сравнить между собой два составных высказывания, то, естественно, сравниваются между собой таблицы истинности. Результатом этого сравнения будет установление вида бинарного отношения, которое связывает эти высказывания.
Так как в таблицах истинности только 0 и 1, то при построковом сравнении двух таких таблиц возможны следующие варианты:
-
Номер варианта
Вариант
1
1 – 1
2
1 – 0
3
0 – 1
4
0 – 0
Отсутствие всех вариантов просто невозможно. Отсутствие трех любых вариантов возможно, если сравниваются логические законы (частный случай). Из всех шести комбинаций отсутствия двух вариантов рассмотрим два: отсутствие вариантов 1 и 4; отсутствие вариантов 2 и 3. Общее название этих отношений – "2-отношения"; в первом случае название отношения "противоположность", во втором – "эквивалентность". Оставшиеся четыре комбинации будем называть "другие 2-отношения".
При отсутствии одного варианта (четыре случая) – общее название "простые отношения":
отсутствие варианта 1 – "Т-несовместимость";
отсутствие варианта 2 – "из А следует В";
отсутствие варианта 3 – "из В следует А";
отсутствие варианта 4 – "F-несовместимость",
где А – первое сравниваемое высказывание, В – второе.
Если при сравнении двух высказываний присутствуют все четыре варианта, то такие высказывания независимы (отношение – "независимы").