1.4 Действия с цепочками
Для цепочек допустимы следующие действия:
конкатенация (сцепление) цепочек:
x = aba , y = cab; xy = abacab;
возведение цепочек в степень:
x = ab; x1 = ab; x2 = abab ; x3 = ( ab)3 = ababab;
любая цепочка в нулевой степени равна : x0 =
Нельзя отождествлять пустое множество C = { } и множество, содержащее один элемент - пустую цепочку В = { }.
Все множество цепочек, которые могут быть созданы в заданном алфавите, можно представить таким понятием как, итерация алфавита.
Итерация – множество, полученное в результате объединения всех степеней алфавита, включая и нулевую:
V* = Vi.
(i N0)
Усеченная итерация (обозначается V+) не включает нулевую степень алфавита т.е. пустую цепочку:
V+ = Vi .
(i N)
Итерацию и усеченную итерацию связывает следующая формула:
V+=V V* = V* V .
1.5 Число элементов множества
Для любого конечного множества М число элементов (мощность множества) будем обозначать n (M).
Пусть задано несколько множеств (подмножеств одного универсального множества W): А,В,С,... с числом элементов в каждом соответственно: n (A), n (B), n (C),.... Решим задачу о количестве элементов в множестве, записанном в виде формулы, т.е. состоящем из нескольких множеств, связанных операциями пересечения, объединения и дополнения.
Дано: A, B, n (A), n (B).
Определить: число элементов в объединении n (A B).
Решение
Для непересекающихся множеств число элементов объединения равно сумме элементов в каждом из объединяемых множеств:
n (A B) = n (A) + n (B).
Общий случай (два множества имеют общие элементы):
n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B) .
Общий случай (три множества имеют общую область):
n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) – n (A B) –
– n (A C) – n (C B) + n (A B C).
1.6 Отношения
Подмножество R Mn называется n-местным (n-арным) отношением на несущем множестве M. Множество M является несущим для отношений любой арности, которые на нем построены. Говорят, что элементы вектора (a1,a2,a3,…an) находятся в отношении R, если этот вектор принадлежит множеству R. Для n = 1 отношение называют унарным (по сути, такое отношение выделяет из множества M подмножество R по признаку); для n=2 – бинарным (т.е. отношением между двумя элементами множества M) и т.д. Отношение – то же множество, элементами которого являются векторы размерности n или, при другой записи, цепочки длины n, составленные в алфавите M и отобранные в соответствии с отношением R.
Пример. Построить бинарное отношение R, которое определяется словами так: "в латинском алфавите символ встречается раньше" на несущем множестве M={a, b, c, d}.
Решение
Примерами элементов отношения R могут быть векторы (a,c), (c,d)... или цепочки ac, cd, bd..., такие, в которых на первом месте стоит буква, встречающаяся в латинском алфавите раньше по сравнению с буквой, стоящей на втором месте.
Отношение R является подмножеством множества M2:
M2 = {aa, ab, ac,...,dd}, из которого элементы отбираются в соответствии со следующей процедурой R = {xy | x "меньше" y}.
R = {ab, ac, ad, bc, bd, cd}.
Отношения любой арности можно задать одним из способов задания множеств (перечисление элементов, порождающая процедура, характеристические признаки). Кроме того, бинарные отношения можно задавать:
с помощью матрицы смежности – квадратной матрицы, столбцы и строки которой обозначены элементами несущего множества, а элементы имеют следующие значения:
;
с помощью ориентированного графа – элементы несущего множества M изображаются на плоскости в виде вершин графа (точки с обозначением рядом элементов несущего множества), а затем вершины, пары которых входят в множество R, соединяются с помощью стрелок(дуг) (начинается стрелка в первом элементе пары, заканчивается – во втором); число таких стрелок равно числу элементов в множестве R.
Для каждого бинарного отношения R можно построить обратное отношение R-1 (читается: R в степени минус один), поменяв местами в каждом элементе R проекции векторов.
Отношение Q обратно отношению R тогда и только тогда, когда для каждой пары из R выполняется условие:
x R y следует y Q x