ББК 32.973–018я7+22.174

УДК 681.3.06 : 51(075)

681.5.01 : 512

681.142.2

Основы дискретной математики: Краткий курс лекций для студентов специальности 7.080402 «Информационные технологии проектирования» / Авт. М.П.Богдан. – Краматорск: ДГМА, 2001. – 80 с.

Кратко изложен материал по основным разделам курса «Основы дискретной математики» с учетом специфики специальности 7.080402: элементы теории множеств и отношений, алгебры логики, элементы теории графов, теория конечных автоматов – распознавателей и автоматов – трансляторов, теория грамматик; к каждому разделу даны задачи и примеры для самостоятельного решения.

Автор М.П.Богдан, ст. преп.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Вступление 5

1 Элементы теории множеств и отношений 6

1.1 Условные обозначения, принятые в тексте 6

1.2 Множества. Способы задания множеств 6

1.3 Операции над множествами 8

1.4 Действия с цепочками 11

1.5 Число элементов множества 12

1.6 Отношения 13

1.7 Свойства бинарных отношений 14

1.8 Операции с бинарными отношениями 15

1.9 Упражнения и задачи к главе 1 17

2 Элементы алгебры логики 19

2.1 Простые высказывания; логические связки 19

2.2 Составные высказывания. Таблицы истинности 20

2.3 Логические законы 22

2.4 Построение заданных составных высказываний 24

2.5 Отношения между высказываниями 25

2.6 Аргументы 26

2.7 Задачи на построение таблиц истинности 26

3 Элементы теории графов 27

3.1 Общие понятия и определения 27

3.2 Способы задания графов 27

3.3 Элементы графов 28

3.4 Операции с частями графа 29

3.5 Диаметр, радиус и центр графа 30

3.6 Диаметр протяженности, радиус протяженности и центр протяженности графа 32

3.7 Задачи к главе 3 34

4 Теория конечных автоматов 35

4.1 Конечные автоматы – распознаватели 35

4.2 Эквивалентные состояния КА 37

4.3 Недостижимые состояния КА 38

4.4 Недетерминированный конечный автомат 39

4.5 Задачи к главе 4 43

5 Автоматы с магазинной памятью 46

5.1 Автоматы-распознаватели с магазинной памятью 46

Необработанная цепочка 51

5.2 Автоматы–трансляторы с магазинной памятью 52

Входная 56

цепочка 56

Состояние 56

Содержимое 56

магазина 56

Выходная 56

5.3 Задачи к главе 5 56

№ вар. 56

№ вар. 57

6 Грамматики 58

6.1 Общие сведения 58

6.2 Классификация грамматик 61

6.3 Эквивалентные преобразования грамматик 63

6.3 1 Удаление или добавление бесполезных 64

(непродуктивных и недостижимых) нетерминалов 64

6.3.2 Добавление нетерминала 66

6.3.3 Подстановка правил 66

6.3.4 Изменение направления рекурсии 66

6.4 Задачи к главе 6 67

7 Распознаватели для грамматик 68

7.1 Построение КА–распознавателей для автоматных 68

грамматик 68

7.2 Построение КА–распознавателей для праволинейных грамматик 73

7.3 Построение МП–распознавателей для S – грамматик 74

S 77

S# 77

R 77

b 77

S 77

R 77

R 77

7.4 Построение МП–распознавателей для q – грамматик 77

S 84

S# 84

A 84

a 84

A 84

A 84

a 84

a 84

7.5 Задачи к главе 7 85

С п и с о к л и т е р а т у р ы 86

Вступление

Любой природный процесс, которым человек пытается управлять(воздействовать на него с предсказуемыми последствиями), должен быть сначала представлен в виде модели той или иной степени сложности. Специалистам в области компьютерных технологий приходится брать такие модели или их фрагменты для последующего объединения из конкретных предметных областей, общих знаний и представлений об окружающем мире и создавать свою модель для решения поставленной задачи. После этого, учитывая особенности работы вычислительного устройства(компьютера) и выбранного языка программирования – разрабатывать алгоритм реализации модели, программировать(кодировать) этот алгоритм. Кроме реализации основной функции, необходимо подумать о вспомогательных функциях(контроль входных данных, проверка адекватности результата, представление результата, контекстная подсказка, справочная система и т.п.) и их корректном взаимодействии между собой.

Все перечисленные процессы (как, по глубокому убеждению автора, и большинство природных процессов в восприятии человека) имеют дискретную природу (дискретный (лат. diskretus) – разделенный, прерывистый).

Представление и процесс обработки информации в компьютере, независимо от его технических параметров, носят дискретный характер (алфавит машинного языка двухсимвольный, множество состояний процессора конечное), поэтому любая модель, реализованная в виде машинного кода, дискретна.

Курс лекций ставит своей целью познакомить студента с максимально широким кругом понятий дискретной математики, приобрести навыки в создании и программировании дискретных объектов при решении практических задач, причем для успешного освоения курса достаточно школьных знаний по математике. Дискретная математика – фундаментальная наука и нужна специалисту в области информационных технологий как метод мышления , как средство формулирования и организации понятий.

В конце курса приведен список литературы, в которой можно найти более подробное изложение этих и других разделов дискретной математики.

1 Элементы теории множеств и отношений

1.1 Условные обозначения, принятые в тексте

N – множество всех натуральных чисел (N = {1,2,3,...});

N_о – множество всех натуральных чисел и ноль (N_о={0,1,2,3,...});

R – множество действительных чисел;

 – знак принадлежности ( а  А – элемент а принадлежит множеству А; а  В – элемент а  множеству В);

 – знак пересечения ( А  В – пересечение множеств А и В);

 – знак объединения ( А  В – объединение множеств А и В);

\ - знак разности (А \ В – из множества А вычесть множество В);

 – знак включения ( В  А – множество В включено в множество А);

хⁿ или Aⁿ – элемент х или множество А в степени n (n  N_o);

W – обозначение универсального множества – такого множества, по отношению к которому все рассматриваемые в примере или задаче множества являются подмножествами (A,B,C,D...  W).