Показникове рівняння вигляду

_{де - деяка елементарна функція, а - елементарна алгебраїчна функція, розв’язується заміною за допомогою якої рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння}

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

_{Перетворимо задане рівняння до вигляду}

_{Виконаємо заміну Тоді відносно одержуємо рівняння}

_або

_Т

₌ -2; =2.

обто,

_{Відповідь.} = -2; =2.

Розділ 3. Системи показникових рівнянь

_{Системи показникових рівнянь в загальному випадку зводяться до систем алгебраїчних рівнянь застосуванням властивостей показникової функції, методів розв’язання показникових рівнянь, а також арифметичних дій над обома частинами рівнянь системи, введенням нових змінних тощо.}

_{Розглянемо на прикладах застосування деяких з цих перетворень.}

а) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

_{Приведемо кожне рівняння до однієї основи:}

_{Одержали систему двох рівнянь вигляду (1.3), для якої рівносильною буде система алгебраїчних рівнянь}

_{Відповідь}:

б) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

Розкладемо праві частини рівнянь на множники

Перемножимо відповідно ліві і праві частини обох рівнянь:

Далі розділимо перше рівняння системи на друге:

Таким чином, одержали систему , розв’язуючи яку, маємо

_{Відповідь}:

в) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

Виконавши заміни , одержимо систему

яка має розв’язок .

Тоді для визначених і маємо систему показникових рівнянь

звідки

_{Відповідь}:

г) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

_{Замінами система зводиться до рівносильної}

_{Додамо до лівої і правої частини другого рівняння відповідні частини першого, помноженого на 2, одержимо рівняння}

_{Отже, для визначення маємо дві системи:}

_{а) , з розв’язком}

_{б) , з розв’язком}

_{Тому для визначення і маємо також дві системи показникових рівнянь}

_а)

_б)

Відповідь: .

д) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

_{Зробимо заміну , тоді система зводиться до рівносильної}

_{Перевірка показує, що знайдені розв’язки задовольняють дану систему.}

_{Відповідь}:

ж) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

_{Піднесемо до куба обидві частини першого рівняння:}

_{Прирівняємо ліві частини рівнянь:}

_{Підставляючи обидва значення в будь-яке з рівнянь заданої системи, одержимо .}

_{Відповідь}:

з) Розв’язати систему рівнянь

_{Розв’язання}. ОДЗ:

_{Зробимо заміну , тоді система зводиться до рівносильної}

_{Друге рівняння одержаної системи – степенево-показникове. Для його розв’язання з чотирьох випадків, залишимо лише два, оскільки , а саме:}

1. _{. Перевірка або , отже} = 1

2. 

_{Отже, , оскільки .}

_{Таким чином, для знаходження і маємо тільки два значення: і . Отже:}

_{а) при маємо}

_{б) маємо}

_{Відповідь}:

Тест.

Показникові рівняння та нерівності.

1 Варіант

1. Яка з нерівностей є правильною:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Яка з функцій є зростаючою:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. При яких значеннях правильна рівність:

4. Розв’язати нерівність:

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

5. Розв’язати рівняння:

а) 1; б) 0; в) 2; г) 1;2.

6. Порівняти:

і .

7. Розв’язати нерівність:

8. Розв’язати рівняння:

9. Знайти корені рівняння:

2 Варіант

1. Яка з нерівностей є правильною:

а) ; б) ; в) ; г) .

2. Яка з функцій є зростаючою:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. При яких значеннях правильна рівність:

а) 1; б) -1; в) 9; г) інша відповідь.

4. Розв’язати нерівність:

а) ; б) ; в) ; г) інша відповідь.

5. Розв’язати рівняння:

а) -1;2; б) -1; в) 2; г) 1.

6. Порівняти:

і .

7. Розв’язати нерівність:

8. Розв’язати рівняння:

9. Знайти корені рівняння: