Показникові рівняння вигляду

,

в якому - елементарна функція.

_{Це рівняння за допомогою ділення обох частин на} зводиться до рівняння вигляду _{або логарифмуванням за будь-якою основою (наприклад, )до рівносильного рівняння .}

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

Розділимо обидві частини на :

.

_{Це рівняння вигляду , йому рівносильне рівняння вигляду з розв’язками} = -0,5 =1

Відповідь. = -0,5 =1.

б) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

_{Приведемо рівняння до вигляду , для чого представимо ліву частину у вигляді і розділимо обидві частини рівняння на , тобто}

_.

_{Розділивши на , одержимо рівняння}

_.

Відповідь. .

Показникові рівняння, які розв’язуються методом групування і винесення спільного множника за дужки Показникове рівняння

_,

- дійсні коефіцієнти, - цілі числа, - алгебраїчна функція, , винесенням за дужки множника , де - найменший серед степенів в рівнянні, зводиться до виду

або , - стала величина

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Винесемо за дужки :

,

Звідки .

_{Відповідь.} = - , = .

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Винесемо за дужки :

_{Відповідь.}

Показникове рівняння вигляду

(1.6)

де - дійсні коефіцієнти, - цілі числа, і - алгебраїчні функції, винесення за дужки в лівій частині множника , де , - найменший з показників степеня лівої частини, а в правій – множника , де - найменший з показників правої частини, зводиться до вигляду

( і - сталі величини), тобто до рівняння .

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Згрупуємо члени рівняння з однаковими основами:

Винесемо в лівій частині за дужки множник , а в правій :

Розділимо обидві частини на :

_{Відповідь.}

б) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Зауваживши, що , приведемо рівняння до вигляду (1.6):

_{Відповідь.}

Показникові рівняння, які зводяться до алгебраїчних рівнянь заміною змінних Показникове рівняння вигляду

- дійсні коефіцієнти, діленням на зводиться до виду

. (1.7)

Рівняння (1.7) в частинному випадку, коли ( - ціле число), заміною і відповідно зводиться до раціонального рівняння.

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Розділимо обидві частини рівняння на :

Оскільки , то, виконавши заміну

одержимо рівняння

з розв’язками .

Отже, для визначених маємо два рівняння:

і

_{Відповідь.}

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

Запишемо дане рівняння у вигляді

Поділивши обидві частини рівняння на отримаємо

Зробимо заміну тоді відносно рівняння зводиться до вигляду , або

Квадратне рівняння не має дійсних коренів, оскільки дискримінант тому існує єдиний корінь .

Таким чином, для визначених маємо одне рівняння

звідки .

_{Відповідь.}

а) Розв’язати рівняння

Розв’язання. ОДЗ: .

_{Розділимо обидві частини рівняння на :}

_{Впевнившись, що є розв’язком одержаного рівняння, покажемо, що воно не має інших розв’язків.}

_{Оскільки і , то функції і монотонно спадні, а отже і їх сума (ліва частина рівняння також монотонно спадна функція, яка може прийняти будь-яке додатне значення лише в одній точці. Оскільки ми вже визначили одну таку точку , то інших значень , які задовольняють рівнянню не існує.}

_{Відповідь.}