Розділ 2. Показникові рівняння

Показниковими називають рівняння, в яких невідоме входить тільки у показник степеня. Наприклад: .

Загального методу розв’язання показникових рівнянь не існує, проте застосування різних методів, які ґрунтуються, в основному, на властивостях показникової функції, дає можливість одержувати аналітичне розв’язання широкого кола показникових рівнянь.

Рівняння, які розв’язуються застосуванням властивостей показникової функції Рівняння вигляду

_,

де , є найпростішим показникових.

Якщо , то рівняння має єдиний корінь .

Якщо , то рівнянн не має коренів.

За умови рівняння зводиться до вигляду , якому рівносильне рівняння .

Приклад

а) Розв’язати рівняння .

Оскільки , то ліва і права частини рівняння зводяться до однієї основи , звідки знаходимо .

Відповідь. -2.

б) Розв’язати рівняння .

; ; Звідси .

Відповідь. -2.

в) Розв’язати рівняння .

; ; ; .

Відповідь. .

г) Розв’язати рівняння .

; ; ; ; .

Відповідь. .

Показникові рівняння вигляду

Де - елементарна функція.

Це найпростіше рівняння у більш загальному вигляді, яке заміною зводиться до рівняння вигляду .

Приклад

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

Нехай . Тоді дане рівняння матиме вигляд або , звідки .

Зробивши обернену заміну змінної або , маємо = -2; =2. Але робити обернену заміну необов’язково, можна розв’язувати це рівняння безпосередньо,застосувавши способи розв’язання , використані в попередньому прикладі:

або , ; = -2; =2.

Відповідь. = -2; =2.

б) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

Запишемо рівняння у вигляді

.

Піднесемо обидві частини до квадрата:

= 2; =7.

Одержані розв’язки належать ОДЗ, проте піднесення до квадрата могло спричинити появу зайвих коренів, тому безпосередньою перевіркою впевнюємося, що = 2. не є розв’язком заданого рівняння , а =7 задовольняє заданому розв’язанню.

Відповідь. .

в) Розв’язати рівняння або

.

Піднесемо обидві частини до куба:

.

Одержали квадратне рівняння відносно .

Заміною приходимо до рівняння з коренями або оберненою заміною до рівнянь:

а)

б)

Оскільки при розв’язанні рівняння виконувалось піднесення до непарного степеня, то не повинно бути зайвих коренів, в чому переконуємося безпосередньою перевіркою.

Відповідь . = -55; =1.

Показникові рівняння вигляду

,

Де - задані елементарні функції.

За властивостями показникової функції рівняння рівносильне рівнянню .

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

Перейдемо до рівносильного рівняння і виконаємо перетворення:

.

Відповідь. .

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

Використовуючи властивості показникової функції приведемо рівняння до вигляду:

.

Перейдемо до рівносильного рівняння з розв’язками = 1; =2

Відповідь. = 1; =2.

а) Розв’язати рівняння .

Розв’язання. ОДЗ: .

або до рівносильного рівняння

.

Маємо квадратне рівняння відносно .

Заміною одержимо рівняння розв’язками = -2; =5.

Оскільки за означенням арифметичного кореня , то для визначення отримаємо одне рівняння або .

Відповідь. .