Раздел 2

Для обобщенной цепи постоянного тока, приведенной на рисунке 2, требуется выполнить следующее:

1. пользуясь данными таблицы, составить расчетную схему электрической цепи;

2. найти токи во всех ветвях, используя для расчета метод контурных токов;

3. записать систему уравнений Кирхгофа, необходимых для определения токов во всех ветвях схемы и выполнить проверку расчета цепи методом контурных токов;

4. выделить в схеме три сопротивления, включенные по схеме треугольник, и заменить их эквивалентным соединением по схеме звезды;

5. рассчитать напряжение между точками А и В схемы;

6. составить баланс мощностей для исходной схемы

Замена источника тока на источник ЭДС

Исходные данные: R₁=5 Ом; R₂=4 Ом; R₃=3 Ом; R₄=4 Ом; R₅=7 Ом;

R₆=8 Ом; Е₆= 22 B

2.1.Определяем контуры, для которых можно составить уравнения контурных токов. Произвольно принимаем направление контурных токов.

Уравнения контурных токов для исходной схемы.

I₁₁*R₁₁- I₂₂* R₁₂- I₃₃* R₁₃= Е₁₁;

-I₁₁*R₂₁+ I₂₂* R₂₂- I₃₃* R₂₃= Е₂₂;

-I₁₁*R₃₁- I₂₂* R₃₂+ I₃₃* R₂₃= Е₃₃.

R₁₁=R₁+ R₄+ R₅=5+4+7=16 Ом;

R₂₂=R₂+ R₅+ R₆=4+7+8=19 Ом;

R₃₃=R₁+ R₂+ R₃=5+4+3=12 Ом.

R₁₂= R₂₁= R₅=7 Ом;

R₂₃= R₃₂= R₂=4 Ом;

R₁₃= R₃₁= R₁=5 Ом.

Е₁₁=0 В

Е₂₂= Е_{5 +} Е₆=0+22= 22 В

Е₃₃= 0 В

Система уравнений после подстановки числовых значений:

16I₁₁ - 7I₂₂ - 5I₃₃ = 0;

-7I₁₁ + 19I₂₂ - 4I₃₃ = 22;

-5I₁₁ - 4I₂₂ + 12I₃₃ = 0.

Составляются определители контурных уравнений: основной Δ и дополнительные Δ₁, Δ₂, Δ₃.

После математических преобразований получаем токи :

I₁₁ = Δ₁/ Δ = 0,117 А

I₂₂ = Δ₂/ Δ = 0,1793 А

I₃₃ = Δ₃/ Δ = 1.063 А

Определяем действительные значения токов в ветвях на основании определенных контурных токов.

I₁ = I₃₃ – I₁₁ =-0,054 А

I₂ = I₃₃ – I₂₂ =-0,73 А

I₃ = I₃₃= 1,063 А

I₄ = I₁₁ = 1,117 А

I₅ = I₁₁ - I₂₂ = -0,676 А

I₆ = – I₂₂ = -1,793 А

2.2.Составление системы уравнений по законам Кирхгофа

направлений составляем уравнения.

По первому закону Кирхгофа составляем число уравнений на единицу меньше общего числа узлов в цепи.

I₃ – I₄ – I₁ = 0; 1,063-1,117+0,054=0

I₄ + I₆ – I₅ = 0; 1.117-1.793+0.676=0

I₁ + I₅ – I₂ = 0; -0,054-0,676+0,73=0

2.3.Выбираем независимые контуры и произвольно принимаем направления их обхода; для всех контуров по второму закону Кирхгофа составляются уравнения:

I₄* R₄ + I₅* R₅ – I₁* R₁ =0; 1,117*4-0,676*7+0,054*5=0

-I₅* R₅ – I₆* R₆ – I₂* R₂=Е₆; 0,676*7+1,793*8+0,73*4=22

I₁* R₁ + I₂* R₂ + I₃* R₃=0; -0,054*5-073*4+1,063*3=0;

2.4. Проводится правильность расчетов подстановкой найденных значений токов в уравнения, составленных по законам Кирхгофа:

16I₁₁ - 7I₂₂ - 5I₃₃ = 0; 16*1,117-7*1,793-5*1,063= 0;

-7I₁₁ + 19I₂₂ - 4I₃₃ = 0; -7*1,117+19*1,793-4*1,063=20

-5I₁₁ - 4I₂₂ + 12I₃₃ = 0; -5*1,117-4*1,793+12*1,063=0

2.5.Замена соединения сопротивлений треугольником соединением звездой.

Треугольником соединены сопротивления R₁; R₂ ; R₃.

R₁₃= R₁ R₃/( R₁+ R₂+ R₃)= 1,25 Ом

R₁₂= R₁ R₂/( R₁+ R₂+ R₃)= 1,666 Ом

R₂₃= R₂ R₃/( R₁+ R₂+ R₃)= 1 Ом

2.6.Определение напряжения между точками А и В схемы

Для определения напряжения U_АВ составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура:

U_АВ - I₁* R₁ + I₄* R₄ + E₅=0

U_АВ = - I₁* R₁ - I₄* R₄ - E₅

U_АВ = -0,054*5+0716*4= 2,594 B

2.7. Составление баланса мощностей

При составлении баланса следует учитывать, что мощность, потребляемая всеми элементами цепи, должно быть равна мощности, которую отдают источники электроэнергии. Однако возможно и потребление энергии источником.

В этом случае направление ЭДС и тока источника противоположны.

Мощность источников электроэнергии

Р_ист = Е₄* I₄+ Е₅* I ₅+ Е₆* I₆=0+0+22*1,793=39,45 Bт

Определяется мощность потребляемая сопротивлением цепи.

Р_r = I₁* R₁+ I₂* R₂+ I₃* R₃+ I₄* R₄+ I₅* R₅+ I₆* R₆

Р_r =0,003*5+0,533*4+1,13*3+1,248*4+0,457*7+3,215*8 = 39,45 Вт

Баланс мощности выполняется, что свидетельствует о правильности вычислений токов в ветвях.