Вопрос 21

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.          

Обозначение двойного интеграла

Геометрический смысл двойного интеграла.

Перейти к примерам решения двойных интегралов.

Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже.   Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y.  Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).

Эффективным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к однократным интегралам.

1. Случай прямоугольника.

Начнем с простого случая, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник 

Теорема 3.6. Пусть функция   интегрируема в прямоугольнике   и пусть для каждого   существует однократный интеграл

Тогда существует повторный интеграл

и справедливо равенство

Доказательство. Разобьем прямоугольник   с помощью точек   на пр частичных прямоугольников

Пусть, как и в § 1, число А обозначает диаметр разбиения прямоугольника   верхняя и нижняя суммы функции   Тогда всюду на прямоугольнике 

Фиксируем произвольное число   и проинтегрируем неравенство (3.13) по у в пределах от   до   положив в нем  Получим

Умножим (3.14) на   просуммируем полученные неравенства сначала по всем I от 1 до  , а затем по всем   от 1 до  Используя обозначение (3.11), будем иметь

Пусть   Тогда и   При этом   стремятся к двойному интегралу   Следовательно, существует предел и среднего члена в (3.15), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по определению однократного интеграла равен

Таким образом, доказано существование повторного интеграла и равенство (3.12). Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства теоремы 3.6 ясно, что   можно поменять ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование для любого   однократного интеграла

Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла

и равенство его двойному интегралу.

§ 2. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла вполне аналогичны соответству ющим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция   интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области   то функция   интегрируема в каждой из областей   причем

Для доказательства этого свойства разобьем области   на конечное число квадрируемых областей, тем самым получим разбиение области А Пусть   — верхние и нижние суммы функции   соответственно в областях 

Так как   то   откуда и вытекает интегрируемость функции   в каждой из областей 

Справедливость соотношения (3.9) следует из того, что

Замечание. Справедливо и обратное утверждение: из интегрируемости функции   в каждой из областей   следует интегрируемость функций в области D и справедливость формулы (3.9).

Действительно, разбивая область D на конечное число квадри руемых частей  , и вводя верхние и нижние суммы функции   в областях   мы получим равенства (3.10), верные с точностью до слагаемых, отвечающих тем областям   которые имеют общие внутренние точки с кривой Г. Кривая Г имеет площадь нуль, функция   ограничена, поэтому общая сумма этих слагаемых будет стремиться к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения 

Вывод последующих свойств (так же, как и вывод свойства 1) вполне аналогичен выводу соответствующих свойств однократного определенного интеграла. Ограничимся формулировкой этих свойств.

2°. Линейное свойство. Пусть функции   интегрируемы в области D, а и   — произвольные вещественные

числа. Тогда функция   также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции   интегрируемы в области   и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции   интегрируемы в области D и всюду в этой области   то

5°. Если функция   интегрируема в области D, то и функция   интегрируема в области D, причем

Обратное утверждение неверно: из интегрируемости   в D, вообще говоря, не вытекает интегрируемость 

6°. Если функция   интегрируема в области   ограничена и совпадает с   всюду в D, за исключением множества точек площади нуль, то и   интегрируема в области D.

Т. Теорема о среднем значении. Если функции   интегрируемы в области D, функция   неотрицательна (неположительна) всюду в этой области,   то найдется число   такое, что справедлива формула

Если при этом функция   непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка   что 

8°. Геометрическое свойство.   равен площади области D (см. утверждение 2 из п. 3).