4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

левая часть которого является функцией, дифференцируемой в некоторой области. Эта функция   определяет скалярное поле, для которого данная поверхность (50) является одной из поверхностей уровня.

Рис. 225

Пусть в точке   не равен нулю. Тогда, согласно п. 3, все касательные, проведенные в точке   к линиям, лежащим на поверхности (50) и проходящим через точку   расположены в одной плоскости, перпендикулярной   Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности   в точке   (рис. 225).

Найдем уравнение этой плоскости. Искомая плоскость проходит, очевидно, через точку   поэтому ее уравнение имеет вид:

(см. гл. IV, § 1, п. 2, формула (4)).

Так как вектор

по условию перпендикулярен касательной плоскости, то его можно принять за нормальный вектор этой плоскости, т. е. можно положить   Тогда уравнение (51) примет следующий вид:

Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности (50) в точке 

Пусть поверхность (50) имеет в некоторой ее точке   касательную плоскость. Прямая, проходящая через точку  перпендикулярно этой касательной плоскости, называется нормалью к поверхности (50) в точке   Вектор   очевидно, направлен вдоль нормали и поэтому может быть принят в качестве ее направляющего вектора. Итак, канонические уравнения нормали имеют следующий вид:

Пример 1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду   в точке 

Решение. В п. 3 (см. пример 1) был найден градиент функции   в точке  . При этом оказалось, что 

Поэтому искомые уравнения касательной плоскости и нормали будут следующими:

или

или

Итак,   является направляющим вектором нормали. Поэтому единичный вектор нормали   мы найдем, разделив вектор   на его длину:

Рассмотрим теперь случай, когда поверхность задана уравнением

Этот случай можно свести к предыдущему, записав уравнение (55) в виде

и положив

Тогда

и, следовательно,

Поэтому уравнение касательной плоскости в точке   запишется в виде

или

а уравнение нормали — в виде

Единичный вектор   нормали в этом случае находится по формуле

а его направляющие косинусы — по формулам

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости к эллиптическому параболоиду   в точке  .

Решение. Положив  , получим   следовательно,   Теперь, пользуясь формулой (57), легко получим уравнение касательной плоскости

или

Вопрос 20

°. Определение экстремума функции.

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.

Пусть функция z = f(x; у) определена в некоторой области D, точка N(x₀;y₀) D.

Точка (x₀;y₀) называетсяточкой максимума функции z= f(x;y), если существует такая -окрестность точки (x₀;y₀), что для каждой точки (х;у), отличной от (x₀;y₀) из этой окрестности выполняется неравенство f(x;y) < f(x₀;y₀). На рисунке 12: N₁ — точка максимума, aN₂ — точка минимума функции z= f(x;y).

 

Рис. 12

Аналогично определяетсяточкаминимума функции: для всех точек (x₀;y₀),отличных от (x₀;y₀),из -окрестности точки (x₀;y₀) выполняется неравенство: f(x₀;y₀) > f(x₀;y₀).

Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.

Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом {минимумом) функции.

Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.

Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x₀;y₀) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x₀;y₀). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

2°. Необходимые условия экстремума.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Геометрически равенства f'_y(x₀;y₀) = 0 и f'_y(x₀;y₀) = 0 означают, что в точке экстремума функции z = f(x; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f(x; у), параллельна плоскости О_ху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z = z₀.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция  имеет максимум в точке О(0;0), но не имеет в этой точке частных производных.

Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x;y) равны нулю, т. е. f'_x = 0, f'_y = 0, называется стационарной точкой функции z.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) является критической (в ней   и   обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0;0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.

Стационарные точки находятся путем решения системы уравнений

fх (х, у) = 0, f'у(х,у) = 0

(1)

(необходимые условия экстремума).

Система (1) эквивалентна одному уравнению df(х, у)=0. В общем случае в точке экстремума Р(а, b) функции f(x, у) или df(x, y)=0, или df(а, b) не существует.

3°. Достаточные условия экстремума. Пусть Р(а; b) — стационарная точка функции f(х,у), т. е. df(а, b) = 0. Тогда:

а) если d2f (а, b) < 0 при  , то f(а, b) есть максимум функции f (х, у);

б) если d2f (а, b) > 0 при  , то f(а, b)есть минимум функции f (х,у);

в) если d2f (а, b) меняет знак, то f (а, b) не является экстремумом функции f (х, у).

Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть   и  . Составим дискриминант Δ=AC —B².

Тогда:

1) если Δ > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а; b) а именно максимум, если A<0 (или С<0), и минимум, если A>0 (или С>0);

2) если Δ < 0, то экстремума в точке Р(а; b) нет;

3) если Δ=0, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р(а; b) остается открытым (требуется дальнейшее исследование).

4°. Случай функции многих переменных. Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума аналогичны условиям (1), а достаточные условия аналогичны условиям а), б), в) 3°.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=x³+3xy²-15x-12y.

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):

или

Решая систему, получим четыре стационарные точки:

Найдем производные 2-го порядка

и составим дискриминант Δ=AC — B² для каждой стационарной точки.

1) Для точки  :  , Δ=AC—B²=36-144<0. Значит в точке   экстремума нет.

2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0. В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28.

3) Для точки  : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144 <0. Экстремума нет.

4) Для точки Р₄: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0. B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28.

5°. Условный экстремум. В простейшем случае условным экстремумом функции f(х,y) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи). Чтобы найти условный экстремум функции f(х, у) при наличии соотношения φ(х,у) = 0, составляют так называемую функцию Лагранжа

F(x,y)=f(x,y)+ λφ(x,y),

где λ — неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений

(2)

с тремя неизвестными х, у, λ, из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

для испытуемой системы значений х, у, λ, полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением

.

Именно, функция f(х,y) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0. В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(х, у), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0).

Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.

Пример. Найти экстремум функции z=6-4x-3yпри условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению x²+y²=1.

Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты z плоскости z=6 - 4х - Зу для точек пересечения ее с цилиндром х2+у2=1.

Составляем функцию Лагранжа F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Имеем  . Необходимые условия дают систему уравнений

решая которую найдем:

и

.

Так как

,

то

d²F=2λ(dx²+dy²).

Если   и  , то d²F>0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный минимум. Если   и  , то d²F<0, и, следовательно, в этой точке функция имеет условный максимум.

Таким образом,

6°. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция z = f(x; у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области  . Тогда она достигает в некоторых точках  своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области  , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области   функции z = f(x;y) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие  , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x; у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

ПримерОпределить наибольшее и наименьшее значения функции

z=x²+y² -xy+x+y

в области

.

Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 13).

1) Найдем стационарные точки:

отсюда x= -1, y= -1; получаем точку М(-1; -1).

В точке М значение функции  . Исследование на экстремум обязательно.

2) Исследуем функцию на границах области.

При х=0 имеем z=у²+у, и задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке  . Проведя исследование, найдем, что   в точке (0; -3);  в точке  .

При у=0 имеем z=х²+х. Аналогично найдем, что   в точке (-3;0);   в точке  .

 

Рис. 13

При х+у= -3 или у= -3 –х будем иметь z=3х²+9х+6.

Аналогично найдем, что   в точке  ;   и совпадает с   и  . На прямой х+у = -3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, не приводя к функции одного аргумента.

3) Сопоставляя все полученные значения функции z, заключаем, что  в точках (0; -3) и (-3; 0);   в стационарной точке М.