3. Градиент

При изучении скалярных полей наряду с функцией поля   рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, — градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом в точке   скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией  , называется вектор, равный

Градиент функции  , мы будем обозначать одним из символов

По определению

Таким образом, каждой точке   скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией  , относятся не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор  .

Пример 1. Найти градиент функции   в точке  .

Решение. Введя обозначение   найдем  . Затем, пользуясь формулой (42), получим

Между градиентом функции и   в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Проекция вектора   и на единичный вектор   к равна производной функции и по направлению 

Доказательство. Пусть  . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов (см. гл. III, § 2, п. 8, формула  ).

Но

Поэтому

(см. формулу (40)). Теорема доказана.

Учитывая, что производная по направлению   выражает скорость изменения скалярного поля   в этом направлении, формулу (43) можно прочитать так: проекция   и на вектор 1 равна скорости изменения поля   в направлении вектора I.

Обозначим через   угол между единичным вектором  . Тогда   Поэтому, на основании формулы (43),

Если направления векторов   и совпадают  , то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное 

Рис. 224

Таким образом, мы приходим к следующему выводу:   и есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

Отсюда следует, что   и функции скалярного поля и   определяется самим полем и не зависит от системы координат, в которой рассматривается функция поля.

Выясним взаимное расположение   в данной точке   и поверхности уровня, проходящей через эту точку. Пусть уравнение этой поверхности имеет вид

Рассмотрим кривую L, лежащую на поверхности (45) и проходящую через точку   (рис. 224).

Предположим, что эта кривая задана уравнениями

где   - дифференцируемые функции t, причем   Каждая точка кривой L имеет координаты   которые должны удовлетворять уравнению (45) поверхности уровня, поскольку кривая L полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, должно выполняться тождество

Дифференцируя обе части этого тождества по t, получим, применяя формулу (34) (см. § 5, п. 1) и учитывая, что 

В частности, при   имеем

Левая часть этого равенства является скалярным произведением

и вектора

направленного по касательной к кривой L (см. гл. VI, § 5, п. 3). Таким образом,

Предположим, что  . Тогда из равенства (48) вытекает, что   перпендикулярен к вектору   направленному по касательной к кривой L в точке  .

Так как эта кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к следующему выводу. Пусть скалярное поле задано дифференцируемой функцией  . Тогда   касательные, проведенные в точке   к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку   расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору   при условии, что этот вектор не равен нулю.

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных  , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению   выражается равенством

или

где   — угол между единичным вектором  . Можно показать, что если поле задано дифференцируемой функцией  , то вектор   перпендикулярен к касательной» проведен кой к линии уровня в точке 

Пример 2. Найти наибольшую скорость возрастания функций   в точке 

Решение. Наибольшая скорость возрастания функция равна модулю градиента этой функции. Находим

В точке   Следовательно, наибольшая   рость возрастания функции равна