Вопрос 18

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные, которые для исходной функции будут частными производными второго порядка. Так, для функции   можно определить четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

,  ,

,  .

Частные производные   и  , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции  .

Решение.  ,  ,  ,

,  ,  .

Пример 2. Найти частные производные второго порядка функции  .

Решение.  ;  ;

;  ;

;  .

Можно определить производные еще более высоких порядков. Так, для функции   можно написать восемь частных производных третьего порядка:  .

Аналогично определяются частные производные высших порядков для функции с любым числом независимых переменных.

В примерах 1 и 2 смешанные частные производные совпали, то есть  , однако это не всегда так. Существуют различные условия, достаточные для того, чтобы величина смешанных частных производных не зависела от порядка дифференцирования. Приведем наиболее простое и часто употребляемое условие.

Теорема 1. Если частные производные функции   до   порядка включительно непрерывны, то ее смешанные производные до   порядка не зависят от порядка дифференцирования.

В рассмотренных выше примерах условия теоремы были выполнены, поэтому смешанные частные производные совпали.

Пусть   и   – независимые переменные. Дифференциалом второго порядка от функции   называется дифференциал от полного дифференциала:  . Аналогично  . Дифференциалы высших порядков вычисляются в предположении, что   и   остаются постоянными. Если   удовлетворяет условиям теоремы 1, то есть  , то формулу для вычисления   можно записать в виде:

. (1)

Это выражение напоминает формулу для квадрата суммы двух слагаемых. Выражение для   напоминает формулу куба суммы двух слагаемых и имеет вид:

. (2)

Эта аналогия в формулах может быть продолжена и дальше:

.

Дифференциалы высших порядков, начиная со второго, свойством инвариантности формы не обладают и выражения для них более громоздкие, чем формулы (1) и (2). Например, для функции  , где  ,  , второй дифференциал находится по формуле:

.

Пример 3. Найти   для функции  .

Решение. Находим

.

Теперь по формуле (1) находим  .

Вопрос 19

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля  . Рассмотрим точку   этого поля и луч   выходящий из точки Р в направлении единичного вектора

где   — углы вектора 1 с осями координат.

Пусть   какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции и скалярного поля в точках   назовем приращением этой функции в направлении l и обозначим через  . Тогда

Обозначим также через   расстояние между точками Р и 

Определение. Производной функции   по направлению l называется предел 

Производная функции и по направлению l обозначается символом. Таким образом,

Заметим, что если производная функции и в точке   по данному направлению l положительна,  , то функция и в этом направлении возрастает, если же  , то функция и в направлении   убывает.

Можно сказать, что производная по направлению додает скорость изменения функции и в этом направлении.

Рис. 222

Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Прежде всего заметим, что приращения   координат точки Р связаны с длиной отрезка   и направляющими косинусами вектора I следующими соотношениями (рис. 222):

Так как функция и по условию дифференцируема, то ее приращение   в точке   можно представить в следующем виде:

причем со стремится к нулю быстрее, чем   т. е.   (см. § 4, п. 2, формула (19)).

Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора !, то   выражаются по формулам (38). Формула (39), следовательно, примет следующий вид:

Разделив обе части этого равенства на   и переходя к пределу при   получим

Но   и направляющие косинусы не зависят от   и так как   то

Из формулы (40) следует, что если вектор 1 совпадает с одним из ортов i, j или к, то производная и по направлению l совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Так, например, если  , то   и, следовательно, 

Пример 1. Найти производную функции   в точке   по направлению, идущему от точки   к точке 

Решение. Находим вектор   и соответствующий ему единичный вектор

Таким образом, вектор 1 имеет следующие направляющие косинусы: 

Теперь найдем частные производные функции 

и их значения в точке  :

Подставляя в формулу (40) найденные значения частных производных и направляющих косинусов, получим искомую производную:

Если скалярное поле — плоское, то функция поля  , как уже было сказано, зависит от двух переменных:  . Вектор 1 в этом случае лежит в плоскости   и, следовательно,   или   так как   (рис. 223). Формула (40) для производной по направлению в случае плоского скалярного поля имеет следующий вид:

Рис. 223

Пример 2. Найти производную от функции   в точке   принадлежащей параболе   по направлению касательной к этой параболе.

Решение. Находим частные производные от функции  :

и их значения в точке 

Для того чтобы найти  , входящие в формулу (41), находим угловой коэффициент касательной в точке 

Таким образом,   откуда получим два значения  , которые соответствуют двум взаимно противоположным направлениям касательной.

Следовательно, по формуле (41)

При   аналогично получим