Вопрос 15 Дифференцируемость функции в точке, дифференциал
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде
|
Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) , |
|
где A — число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .
Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx ч асти A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.
Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е.
|
df(x0) = A · Δx. |
|
Необходимое и достаточное условие дифференцируемости
Теорема 0.1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. При этом
|
Δf = f'(x0) · Δx + o(Δx) ,
= 0. |
|
Доказательство приведено в книге И.М. Петрушко и Л.А. Кузнецова “Курс высшей математики: Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление.” М.: Изд–во МЭИ, 2000. Стр. 96.
Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.
Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е.
|
dx ≡ Δx. |
|
Отсюда следует формула для вычисления дифференциала
|
df(x0) = f'(x0) dx. |
|
Геометрический смысл дифференциала
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0. Проведем касательную к графику этой функции в точке M0(x0, f(x0)) (рис. 1).
Угловой коэффициент касательной равен tg α = f '(x0), где α — угол между касательной и осью OX. При изменении абсциссы х0 на Δx приращение ординаты соответствующей точки касательной равно
|
Δx · tg α = f '(x0) · Δx ≡ df(x0). |
|
Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х0 равен приращению, которое получает линейная функция, графиком которой является касательная, при переходе из точки x0 в точку x0 + Δx.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Из формулы (1) следует, что при |Δx| << 1 можно пренебречь слагаемым o(x) и тогда
|
f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + df(x0) = f(x0) + f '(x0) · Δx. |
Вопрос 16
1°. Полное приращение функции.
Пусть функция z =f(x;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у).
Полным
приращением функции z=f(х,у) называется
разность 
.
2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции.
Составим
полное приращение функции в точке М:
.
Функция z = f(x;у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
,
(1)
где
и 
при 
.
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть приращения функции.
Главная
часть приращение функции z = f(х;
у), линейная
относительно
и 
,
называется полным
дифференциалом этой
функции и обозначается символом dz:
.
(2)
Выражения 
и
в
равенстве (1) называют частными
дифференциалами. Для
независимых переменных х и у полагают 
и 
. Поэтому
равенство (2) можно переписать в виде
. (3)
Теорема
1 (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если
функция z = f(x; у) дифференцируема
в точке М(х;у), то
она непрерывна в этой точке, имеет в ней
частные производные 
и 
,
причем
= А,
=
В.
Теорема
2 (достаточное условие дифференцируемости
функции). Если
функция z=(x;у) имеет
непрерывные частные производные 
и 
в
точке М(х;у), то
она дифференцируема в этой точке.
Примем теоремы без доказательства.
Отметим, что для функции у = f(x) одной переменной существование производной f '(x) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z = f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.
Разность
между полным приращением и полным
дифференциалом функции есть бесконечно
малая высшего порядка по сравнению с 
.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx=Δx и dy=Δy. Полный дифференциал функции z=f(x,y) вычисляется по формуле
.
Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u=f(х, у, z) вычисляется по формуле
.
Пример.
Для функции 
найти
полное приращение и полный дифференциал.
Решение. 
3°. Применение полного дифференциала функции к приближенным вычислениям.
При достаточно малых |Δх| и |Δу|, а значит, при достаточно малом дифференцируемой функции z=f(х,у) имеет место приближенное равенство
Δz ≈ dz
или
.
Так
как полное приращение
, равенство 
можно
также переписать в следующем виде:
.
Данной формулой пользуются при приближённых вычислениях.
Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.
Пример. Вычислить приближенно 1,023,01.
Решение:
Рассмотрим функцию z
= xy. Тогда
1,023,01 = 
, где 
=
1,
=
0,02, 
=
3,
=
0,01.
Воспользуемся
выведенной формулой, предварительно
найдя
и 
.
Следовательно,
1,023,01
13+3• l3-1•
0,02+l3• ln 1•
0,01,
т. е. 1,023,01 1,06.
Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим:
1,023,01 1,061418168.
Пример 3. Высота конуса H=30см, радиус основания R=10см. Как изменится объем конуса, если увеличить Н на 3 мми уменьшить R на 1 мм?
Решение.
Объем конуса равен 
.
Изменение объема заменим приближенно
дифференциалом
