Вопрос 12

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным интервалом  .

• Функция f(x) неограничена в области интегрирования.

Если интервал [a,b] конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода[править | править исходный текст]

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.

2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода[править | править исходный текст]

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры[править | править исходный текст]

Несобственные интегралы II рода[править | править исходный текст]

Пусть   определена на  , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и  . Тогда:

1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к  , или просто расходящимся.

Пусть   определена на   , терпит бесконечный разрыв при x=b и  . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция   терпит разрыв во внутренней точке   отрезка  , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода[править | править исходный текст]

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

Пример[править | править исходный текст]

Отдельный случай[править | править исходный текст]

Пусть функция   определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках  .

Тогда можно найти несобственный интеграл 

Критерий Коши[править | править исходный текст]

1. Пусть   определена на множестве от   и  .

Тогда   сходится 

2. Пусть   определена на   и  .

Тогда   сходится 

Абсолютная сходимость[править | править исходный текст]

Интеграл   называется абсолютно сходящимся, если  сходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость[править | править исходный текст]

Интеграл   называется условно сходящимся, если   сходится, а   расходится.