Вынужденные колебания в контуре

Вынужденные электромагнитные колебания – незатухающие колебания под действием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС:

(18)

Подставив уравнение (18) в уравнение (2), запишем

Или

(19)

Где и определяются формулами (6) и (5).

Частное решение уравнения (19), отвечающее установившимся вынужденным колебаниям заряда на обкладках конденсатора

,

Где - амплитуда заряда на конденсаторе; - разность фаз между колебаниями заряда и внешней ЭДС определяются выражениями

(20)

(21)

В установившемся режиме (рис. 3) электромагнитные вынужденные колебания являются гармоническими, происходят с частотой внешней ЭДС, амплитуда и фаза определяются как частотой , так и характеристиками колебательного контура.

Р

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в контуре

(22)

Где амплитуда тока

(23)

И сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС

(24)

Из выражения (24) следует, что ток отстает по фазе от внешней ЭДС , если , и опережает ЭДС, если .

Электрический резонанс. Резонансные кривые

Из формулы, записанной в виде

(25)

Следует, что при некоторой определенной для данного колебательного контура частоте амплитуда достигает максимального значения.

Для определения резонансной частоты - частоты, при которой амплитуда заряда достигнет максимума, нужно найти максимум функции (25) или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв его нулю, получим, что резонансная частота для заряда равна

(26)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура, называют электрическим резонансом. Подставив формулу (26) в выражение (25), получим

(27)

На рис. 3 приведено семейство резонансных кривых – зависимостей от при различных коэффициентах затухания .

Из рисунка и формулы (27) следует, что с уменьшением максимумы кривых лежат выше и правее. При все кривые приходят к так называемому статическому отклонению . Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю.

Резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:

Амплитуда силы тока максимальна при . Семейство резонансных кривых для силы тока в контуре от частоты внешней ЭДС при различных коэффициентах затухания - представлено на рис.4.

Рис. 4

Амплитуда силы тока максимальна при и . Чем больше коэффициент затухания , тем ниже максимум резонансной кривой.

Волны Волновое уравнение для электромагнитного поля

Существование электромагнитных волн – переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью, следовало из уравнений Максвелла. В однородной и изотропной среде, не поглощающей энергию, вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, векторы напряженностей и переменного электромагнитного пол удовлетворяют так называемому волновому уравнению:

(1)

Где - оператор Лапласа; - фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (1), описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

(2)

Где - соответственно электрическая и магнитная постоянные;

- соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды;

- скорость электромагнитных волн в вакууме.

Совпадение размерного коэффициента в (2) со скоростью распространения света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.