6.2 Лінеаризація математичної моделі об'єкта
Будемо
вважати, що відхилення вихідних величин
і
від своїх усталених значень
і
незначні. Це означає, що нелінійні
функції, які входять до рівнянь (6.6)
і (6.7), можна розкласти в
ряд Тейлора, обмежившись лише лінійними
членами розкладу.
Припустимо,
що
,
,
і
.
Введемо такі позначення:
,
.
Тоді
,
,
де
,
,
,
,
,
.
Нехай:
.
Тоді отримаємо:
, (6.8)
. (6.9)
Отже, рівняння (6.8) і (6.9) утворюють лінеаризована математичну модель технологічного об’єкта.
6.3 Обчислення параметрів математичних моделей об’єкта
Обчислимо параметри нелінійної математичної моделі, яка подана у вигляді диференціальних рівнянь (6.6) і (6.7).
Розглянемо
статичний режим роботи об’єкта, коли
і
.
Тоді
.
Звідси знаходимо
.
Враховуючи,
що
,
маємо
.
Тепер знаходимо
.
Оскільки
,
то
.
Аналогічно знаходимо
.
Знайдемо
величину
.
Рівняння (6.5) запишемо для усталеного
режиму
,
де
- об’єм рідини в другій ємності, коли
має місце стаціонарний режим роботи
об’єкта.
Із останнього рівняння знаходимо
.
Для обчислення параметрів нелінійної моделі (6.6) і (6.7) напишемо програму у середовищі системи MatLab.
Статична
характеристика регулюючого органу
наведена на рис. 6.2.
Для опису статичної характеристики
регулюючого органу
використаємо поліном Лагранжа [2].
Вихідні дані для апроксимації отримуємо
із графіка
залежності
.
Такі дані носять назву детермінованих
породжені власними функціями виконавчих
органів, аналітичний вид яких нам
невідомий. Функцією апроксимації
називають деяку залежність, яка у
відповідності з певним критерієм замінює
власну функцію. Критерій наближення
формулюється як вимога, щоб у заданих
вузлових точках, значення власної
функції і функції апроксимації співпадали.
В такому задача апроксимації формулюється наступним чином. Нехай N – число вузлів апроксимації, а n=N-1 – степінь інтерполяційного полінома. Необхідно знайти поліном степені п, щоб в точках апроксимації його значення співпадали зі значеннями власної функції.
Розв'язок поставленої задачі приводить до такого інтерполяційного полінома Лагранжа
.
Рисунок 6.2 – Статична характеристика регулюючого органу
В нашому випадку для побудови інтерполяційного
полінома використано N=6 вузлів. Необхідні дані для побудови інтерполяційного полінома занесені в табл. 6.1.
Таблиця 6.1 – Вихідні дані для побудови інтерполяційного полінома
|
0 |
0,02 |
0,04 |
0,06 |
0,08 |
0,1 |
|
0,1 |
0,092 |
0,079 |
0,062 |
0,039 |
0 |
Для інтерполяції ми вибрали N=6 вузлів, що приводить до такого інтерполяційного полінома:
.
(6.10)
Оскільки для статичного режиму має місце співвідношення
,
то
для обчислення
необхідно розв’язати рівняння
,
(6.11)
де
.
Для обчислення коефіцієнтів інтерполяційного поліному використовується М-файл fun_Lagran (рис. 6. 3).
Обчислення параметрів лінеаризованої моделі математичної моделі (6.8) і (6.9) здійснено за допомогою програми написаної у середовищі MatLab (див. рис. 6.3).
%====================================================
%РОЗРАХУНОК ПАРАМЕТРІВ МАТЕМАТИЧНОЇ
%МОДЕЛІ ТЕХНОЛОГІЧНОГО
% ОБ'ЄКТА
%====================================================
%Вихідні дані
% А. Геометричні розміри, м
% D1-діаметр першої ємності
% D2-діаметр другої ємності
% L2-висота другої ємності
% Б. Витрати, кг/с
% q10-на першому вході
% q20-на другому вході
% В. Тиски, Па
% P0-над рідиною у другій ємності
% P2-на другому вході
% Г. Рівень рідини, м
% H10-у першій ємності
% H20-у другій ємності
% Д. Інші параметри
% ro-густина рідини
% g-земне прискорення
%----------------------------------------------------
%А. Геометричні розміри, м
D1=3.5;
D2=0.7;
L2=3;
%----------------------------------------------------
%Б. Витрати, кг/с
q10=40;
q20=35;
%----------------------------------------------------
%В. Тиски, Па
P0=0.001e6;
P2=0.21e6;
%----------------------------------------------------
%Г. Рівень рідини, м
H10=2.3;
H20=0.4;
%----------------------------------------------------
%Д. Інші параметри
ro=1000;
g=9.80665;
%====================================================
%Параметри математичної моделі
%====================================================
R1=D1/2;%Радіус першої ємності
R2=D2/2;%Радіус другої ємності
S1=pi*R1^2;%Площа поперечного січення першої ємності
S2=pi*R2^2;%Площа поперечного січення другої ємності
%----------------------------------------------------
%Коефіцієнти гідравлічних опорів
alfa=q10/sqrt(ro*g*(H10-H20)-P0);
alfa20=q20/sqrt(P2-P0-ro*g*H20);
alfa3=(q10+q20)/sqrt(P0+ro*g*H20);
%----------------------------------------------------
%Інші параметри
V0=S2*L2;%Повний об'єм другої ємності
a=P0*(V0-S2*H20);%Коефіцієнт а
%====================================================
%Наближення Лагранжа
%====================================================
%Форм. вхідних даних
%Вхід:
% N - кількість вузлів інтерполяції
% x0 - початок інтервалу інтерполяції
% xk - кінець інтервалу інтерполяції
%Вихід:
% Х - знач. аргументу
% У - знач. функції f(x)
%----------------------------------------------------
%Інтерполяційні вузли (Командний тиск, МПа)
XP=[0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1];
X=XP*1e6;
%Ординати функції у вузлах інтерполяції
Y=[0.1 0.092 0.079 0.062 0.039 0];
%----------------------------------------------------
N=length(X);%Кількість вузлів інтерполяції
x0=X(1);
xk=X(N);
%[X,Y]=fun_LagFun(N,x0,xk);
%----------------------------------------------------
%Підпрограма: Визнач. коефіцієнтів Лагранжа
%aLag - коефіцієнти полінома Лагранжа
%====================================================
[a_lag,d]=fun_Lagran(X,Y);
aLag=a_lag;
a_lag(N)=a_lag(N)-alfa20;
%----------------------------------------------------
%Визначення значення командного тиску
%в усталеному режимі
%----------------------------------------------------
%Вхід:
% a_lag-коефіцієнти інтерполяційного полінома
%Вихід:
% U0-значення командного тиску в усталеному
%режимі
%----------------------------------------------------
%Знаходимо корені рівняння
%a_lag,n*u^n+a_lag,n-1*x^(n-1)+...+A0=0,
%де A0=a_lag0-alfa20
Poly=poly2sym(a_lag);%Поліном у символічній формі
r=solve(Poly);%Розв'язок рівняння
p=double(r);%Перетворення коренів рівняння із
%символьної форми у числову
%Параметри лінеаризованої математичної моделі
n=length(p);
for i=1:n
if (imag(p(i))==0)&(real(p(i))>0)
U0=p(i);
end
end
%====================================================
%Параметри лінеаризованої математичної моделі
%====================================================
syms q1 H1 H2 u;%Об'ява символьних змінних
%----------------------------------------------------
%Формування залежності alfa2(u)
alfa_u=0;
for i=1:N
alfa_u=alfa_u+aLag(i)*u^(N-i);
end
%----------------------------------------------------
%Праві частини диференціальних рівнянь математичної моделі
Y=a/(V0-S2*H2);
F1=(q1-alfa*sqrt(ro*g*(H1-H2)-Y))/(ro*S1);
F2=(alfa*sqrt(ro*g*(H1-H2)-Y)+alfa_u*sqrt(P2-ro*g*H2-Y)-...
alfa3*sqrt(ro*g*H2+Y))/(ro*S2);
%----------------------------------------------------
%Обчислення параметрів моделі a11=dF1/dH1;a12=dF1/dH2;
%a21=dF2/dH1;a22=dF2/dH2;b11=dF1/dq1;b22=dF2/du
%(у символічній формі)
f11=diff(F1,1,H1);
f12=diff(F1,1,H2);
f21=diff(F2,1,H1);
f22=diff(F2,1,H2);
z11=diff(F1,1,q1);
z22=diff(F2,1,u);
A11=subs(f11,[q1 H1 H2],[q10 H10 H20]);
A12=subs(f12,[q1 H1 H2],[q10 H10 H20]);
A21=subs(f21,[H1 H2 u],[H10 H20 U0]);
A22=subs(f22,[H1 H2 u],[H10 H20 U0]);
B11=subs(z11,[q1 H1 H2],[q10 H10 H20]);
B22=subs(z22,[H1 H2 u],[H10 H20 U0]);
%----------------------------------------------------
%Параметри моделі (у числовій формі)
a11=double(A11);
a12=double(A12);
a21=double(A21);
a22=double(A22);
b11=double(B11);
b22=double(B22);
%----------------------------------------------------
%Формування файлу параметрів моделі
save('ParametersModel','a11','a12','a21','a22','b11','b22')
save('ParametersN_Model','alfa','alfa20','alfa3','a','V0','aLag')
save('Parameters','q10','P2','S1','S2','H10','H20','U0')
Рисунок 6.3 – Програма розрахунку параметрів гідравлічного об’єкта
У результаті обчислень за наведеною програмою отримані такі результати:
коефіцієнти інтерполяційного поліному
=:
-1,3021e-026;
=1,8229e-021;
=-6,7708e-017;
=-5,7292e-012;
=-2,7083e-007;
=0,1;
параметри нелінійної математичної моделі
=1000,6;
=0,30123;
=0,077287
=1,069;
параметри лінеаризованої математичної моделі
матриця
коефіцієнтів
;
матриця
коефіцієнтів
.
Результати розрахунків параметрів лінеаризованої математичної моделі записані у mat-файлі ParametersModel, 'ParametersN_Model, Parameters і будуть використані при розв'язку математичної моделі числовим методом.