2.4 Методика обчислення параметрів нелінійної математичної моделі

Методику обчислення параметрів нелінійної математичної моделі розглянемо на прикладі гідравлічного об’єкта, функціональна схема якого показана на рис.2.2. Для статичного режиму роботи об’єкта, коли і , можна записати

,

де , а індекс «0» указує на ті значення відповідних фізичних величин, які вони набувають при статичному (усталеному) режимі роботи об’єкта. Із останнього рівняння знаходимо, що

.

Аналогічне рівняння можна записати і для витрати . Маємо

.

Звідси знаходимо

.

Враховуючи, що , маємо

.

Знайдемо тепер коефіцієнт гідравлічного опору . Для цього запишемо рівняння статики для витрати . Отже,

.

Оскільки , то

.

Таким чином, щоб знайти параметри , , і нелінійної математичної моделі об’єкта необхідно знати значення: витрат - і ; тиску над рідиною ; тиску , під яким рідина поступає у ємність; рівнів рідини і в ємностях, а також геометричні розміри ємностей.

3 Лінеаризація рівнянь математичної моделі об'єкта

Процес лінеаризації нелінійного, рівняння виконується шляхом розкладання нелінійних функцій, що входять в це рівняння в ряд Тейлора. Лінеаризація буде правильно описувати процеси, що відбуваються, якщо відхилення вихідної величини від рівноважного стану буде невеликим. Це означає що величинами, які мають порядок малості вище першого, можна знехтувати. Така ситуація має місце в автоматичних системах керування.

Як приклад, розглянемо лінеаризацію рівнянь (2.6) і (2.11), в які вміщують дві нелінійні функції ( )

, (3.1)

. (3.2)

Нехай , , , , де змінні з верхнім індексом "0" характеризують стаціонарний режим роботи об’єкта.

Тоді

,

,

де індекс “0” відноситься до усталеного режиму.

Якщо ввести позначення , , і , то

,

, (3.3)

де , , , , і .

Враховуючи значення і , матимемо

.

Враховуючи те, що і , отримаємо

.

Аналогічно знаходимо

, , . Оскільки , то , де .

Тепер обчислимо ,

Таким чином, ми одержали лінеаризований аналог рівнянь (2.8) за умови, що відхилення , , , величин , , , від їх значень , , , в усталеному режимі невеликі.

4 Розв'язок математичної моделі об’єкта числовим методом

Процес проектування автоматичних систем керування передбачає створення математичних моделей технологічних об’єктів. Такі моделі у більшості випадків мають вигляд диференціальних рівнянь. Для отримання відомостей про властивості об’єктів необхідно знати розв’язки їх моделей. Отримати аналітичний розв’язок таких моделей можна тільки в окремих випадках. У переважній більшості для розв’язку диференціальних рівнянь. Застосовують числові методи такі як метод Ейлера, метод Гюна, метод Рунге-Кутта та його модифікації. Всі перераховані методи дають можливість розв’язувати математичні моделі, які мають форму рівняння Коші

(4.1)

з початковою умовою

, (4.2)

де - деяка відома у загальному випадку, нелінійна функція двох аргументів.

Метод Ейлера має обмежене застосування із-за великої похибки, яка накопичується в процесі обчислень.

Метод Гюна має точність на порядок вищу, ніж метод Ейлера. Якщо метод Ейлера забезпечує точність розв’язку нелінійного рівняння порядку , то метод Гюна - .

Збільшити точність розв'язку задачі (4.1), (4.2) можна, якщо звернутись до сімейства методів, які відомі як методи Рунге-Кутта.

Ідея побудови методів Рунге-Кутта р-го порядку полягає в отриманні наближеного числового розв’язку задачі Коші за формулою

, (4.3)

де - деяка функція, яка наближує відрізок ряду Тейлора до р-го і не вміщує часткових похідних функції .

Якщо в (4.3) замінити на , то отримаємо метод Ейлера, тобто метод Ейлера можна вважати частковим випадком методів Рунге-Кутта, коли .

Для побудови методів Рунге-Кутта вище першого порядку функцію вибирають як таку, що залежить від певних параметрів, які вибирають шляхом порівняння виразу (4.3) з многочленом Тейлора для з бажаним порядком степені.

Розглянемо випадок р=2 і візьмемо функцію з наступною структурою:

(4.4)

Розглянемо функцію двох змінних в ряд Тейлора, обмежившись лише лінійними членами

. (4.5)

В (4.4) функцію замінимо її наближеним значенням (4.5). У результаті будемо мати

де , .

Підставивши останній вираз в (4.3), отримаємо

(4.6)

Розкладемо тепер функцію в ряд Тейлора, враховуючи члени першого і другого порядків

(4.7)

Оскільки , то .

Знайдемо другу похідну . За формулою повної похідної будемо мати

.

Враховуючи значення , отримаємо

.

Отже,

.

Тепер значення і можемо підставити у вираз (4.7). У результаті отримаємо

. (4.8)

Порівнюючи між собою вирази (4.6) і (4.8) приходимо до висновку, що

Отримана система із трьох рівнянь, яка вміщує чотири невідомих. Це означає, що один із параметрів вільний і його можна вибрати довільним. Візьмемо , . Тоді

, .

У результаті підстановки значень і у формулу (4.4) отримаємо:

.

Отриманий результат дає підставу ітераційну процедуру (4.3) записати у такому вигляді:

. (4.9)

Якщо в (4.9) , то

, (4.10)

а при маємо

. (4.11)

Ітераційна процедура (4.10) носить назву метода Хойна, а (4.11) – породжує метод середньої точки.

Аналіз методів Рунге-Кутта другого порядку дає уявлення в якій формі слід шукати метод Рунге-Кутта довільного порядку.

За аналогією з (4.4) можемо записати

,

, (4.12)

.

Найпоширенішим із сімейства методів (4.12) є метод четвертого порядку (р=4) або просто метод Рунге-Кутта, який породжує таку ітераційну процедуру:

,

,

, (4.13)

,

.

Метод Рунге-Кутта дає похибку накопичення четвертого порядку - .

Бажання підвищити точність методу Рунге-Кутта призвело до появи різних його версій. Одна із них – метод Кутта-Мерсона з вибором кроку на кожній із ітерацій.

На k-му кроці розв’язку задачі Коші послідовно обчислюють:

,

,

,

, (4.14)

,

,

.

Після цього підраховують величину і, якщо , то вважають, що в точці отриманий розв’язок задачі Коші з точністю . У тому випадку, коли крок h зменшують вдвічі і знову обчислюють значення .

При переході до наступного кроку здійснюється перевірка на можливість збільшення кроку. Якщо , то .

Тепер перейдемо до розв'язку системи звичайних диференціальних рівнянь, які записують у такій формі:

, ,

, , (4.15)

……………………………………..

, .

Якщо ввести векторні позначення

, , , ,

то задача Коші (4.15) набуде такого вигляду:

, . (4.16)

Векторне рівняння (4.16) за формою аналогічне рівнянню (4.1). Це означає, що для задачі (4.16), яка подана у вигляді векторного рівняння, у принципі можна застосувати будь-який числовий метод, що розглядався раніше. При цьому скалярними величинами у формулах, які визначені відповідними методами, є тільки час і розрахунковий крок . Необхідно лише врахувати, що при контролі за точністю розв'язку замість умови необхідно використовувати аналогічну умову, в якій замість модуля взяти норму відповідного вектора, наприклад, норму-максимум. Для вектора з компонентами , , …, норма-максимум буде такою:

. (4.17)