2.1 Методика побудови математичної моделі гідравлічного об’єкта

Задачі такого типу виникають при проектуванні автоматичних систем керування рівнями рідин. Як правило, рівень рідин регулюють або в відкритих або у закритих ємностях та резервуарах. В першому випадку говорять про посудини з відкритою поверхнею, а в другому – про посудини, які знаходяться під тиском.

Розглянемо об’єкт (рис.2.2), який складається із двох ємностей з’єднаних послідовно. Перша ємність і знаходиться під тиском Р₀, а друга має відкриту поверхнею. В ємності рідина поступає з відомими витратами Q₁ і Q₂. Тиск на вході першої ємності Р₁, а з другої ємності рідина вільно витікає. Регульованими величинами в першій і другій ємностях є рівні Н₁ і Н₂, зміна яких досягається за допомогою витрат Q₁ і Q₂.

До складання математичної моделі приймемо такі допущення:

• ємності мають постійне поперечне січення за висотою;

• газ, який знаходиться над рідиною ідеальний і його температура не змінюється;

• тиск на вході в першу ємність – постійний;

• коефіцієнт місцевого опору – постійний.

Основними фізичними законами, які притаманні процесу, що розглядаються, будуть – закон матеріального балансу та закон Бойля – Маріотта.

Рівняння матеріального балансу може бути подане в такій формі:

{Швидкість накопичення рідини}={приплив}-{стік} (2.2)

3

Рисунок 2.2 – Схема гідравлічного об’єкта

Для ідеального газу зв’язок між тиском та його об’ємом виражається формулою:

(2.3)

де - тиск газу;

- об’єм газу;

- температура газу в град. К;

- кількість молей газу;

- газова постійна.

Задачею регулювання являється стабілізація рівнів і , яка здійснюється за допомогою зміни степеня відкриття клапана 1 і шляхом зміни витрати . Отже, вихідними величинами являються величини і , а вхідними – і .

Складемо рівняння матеріального балансу для першої ємності. Швидкість накопичення рідини – це зміна маси рідини в часі, тобто . Оскільки, площа поперечного перерізу першої ємності постійна і дорівнює , а рівень рідини – , то маса рідини буде рівне . Тоді можна представити як , або при =const . Тепер можна записати для першої ємності таке рівняння:

(2.4)

де і - масові витрати.

Допустимо, що розширення і стиснення газу відбувається ізотермічно, тобто температура залишається постійною, а також, що випаровування з поверхні незначне. Нехай загальний об’єм першої ємності дорівнює . Тоді об’єм газу визначається як

.

Підставляючи значення в рівняння (2.3), отримуємо

звідси

. (2.5)

Потік (рис.2.2) іде через встановлений на вході клапан 1 під тиском . Тиск після нього дорівнює і залежить від рівня і тиску . Відібраний потік проходить через встановлений на з’єднувальному трубопроводі вентиль 2, тиск після якого зумовлений рівнем в другій ємності.

Таким чином, витрати через гідравлічні опори 1 і 2 визначаються в рівнянь:

,

,

де  - густина рідини.

Якщо врахувати значення , яке визначається рівнянням (2.5), то

, (2.6)

. (2.7)

З урахуванням одержаних рівнянь (2.6) і (2.7) рівняння (2.4) прийме такий вигляд

(2.8)

де .

Запишемо тепер рівняння матеріального балансу для другої ємності. Потоки і вливаються в ємність, а потік витікає із неї. Тому

. (2.9)

Величина визначається із рівняння (2.7), а потік вільно витікає із другої ємності Отже,

. (2.10)

де - коефіцієнт витрати, який залежить від геометричних розмірів отвору і режиму витікання рідини.

Якщо враховувати рівняння (2.7) і (2.10), то зміна рівняння в другій ємності буде описуватись таким диференціальним рівнянням:

. (2.11)

Таким чином рівняння (2.8) і (2.11) утворюють математичну модель КО.