Свойства оценок

 Оценки характеристик случайных величин, как и другие оценки, характеризуются следующими свойствами:

1. смещенность или несмещенность; 2. состоятельность или несостоятельность; 3. эффективность или неэффективность.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой величине

E - символ математического ожидания. В противном случае оценка называется смещенной.

Оценка называется состоятельной, если выполняется следующее условие: Свойство состоятельности заключается в том, что с ростом объема выборки точность оценки увеличивается.

Оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимально возможная:     

Векторные случайные величины и их характеристики

Векторная случайная величина - это совокупность нескольких случайных величин.

каждый элемент вектора характеризуется функцией распределения, моментными характеристиками и так далее.

Совокупность всех элементов вектора, называемая векторной случайной величиной, характеризуется:

1. многомерной функцией распределения;

2.  ковариационной матрицей.

Многомерная функция распределения  имеет тот же смысл, что и для скалярных величин.     Рисунок  

Если две случайные величины независимы, то совместная плотность распределения равна произведению плотностей распределения.

Ковариационная матрица обозначается  и имеет следующую структуру:

На главной диагонали ковариационной матрицы расположены дисперсии всех элементов случайного вектора. Элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца равен ковариации i-го и j- го элементов вектора.

Ковариация двух случайных величин - это центральный смешанный момент 2-го порядка. Пусть есть две случайные величины - x и y.

Ковариация - это коэффициент, определяющий степень линейной статистической зависимости двух случайных величин.

Зависимость двух случайных величин заключается в том, что распределение одной случайной величины зависит от значений другой случайной величины.

Ковариация связана с другим понятием, которое является мерой линейной статистической зависимости - коэффициентом корреляции.

Коэффициент корреляции - это безразмерная величина, которая может принимать значения из отрезка [-1;+1].

Ковариация - это размерная величина, которая может принимать любые значения в зависимости от диапазона изменения величины.

Коэффициент корреляции - это нормированная ковариация.

Векторные случайные величины, являющиеся оценками неизвестных параметров моделей, так же характеризуется свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности.

1. Несмещенный вектор оценок - это вектор с математическим ожиданием, равным истинному значению оцениваемого вектора.
2.Состоятельность   С ростом числа измерений N оценка приближается к истинной величине.

Пусть  - неизвестный вектор;  - вектор оценок.

Качество оценивания неизвестных параметров математической модели характеризуется значениями элементов ковариационной матрицы, при этом необходимо стремиться к тому, чтобы дисперсии оценок были минимальными и ковариации каждой пары оценок стремились к нулю.

3. Оценка вектора  эффективна, если ее ковариационная матрица в каком-то смысле минимально возможна.   След матрицы (sp) - это сумма диагональных элементов.