Теоретическое определение частотных характеристик

Пусть система управления описывается дифференциальным уравнением.

(3)

Подадим на вход системы гармонический сигнал, записанный в комплексной форме .

Тогда установившиеся колебания выходного сигнала будут иметь вид , где - смещение выходного сигнала по фазе относительно входного сигнала.

Находим выражение для производных входного и выходного сигналов.

(4) (5)

В выражениях (5) неизвестными являются амплитуда и сдвиг фазы выходного сигнала.

Подставляя (4) и (5) в (3) получим:

Вне квадратных скобок стоят выражения для входного и выходного сигналов. Поэтому связь между выходным и входным сигналами в случае их гармонического характера можно выразить:

Выражение, стоящее в правой части перед входным сигналом, называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой. Ее можно понимать как комплексный коэффициент усиления.

С другой стороны амплитудно-фазовая частотная характеристика может рассматриваться как отношение выходного сигнала к входному в случае их гармонического характера.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика может быть получена из выражения передаточной функции заменой комплексной переменной р на мнимое число .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(i ) является функцией комплексного переменного и может быть записана в трех формах:

-показательной ;

-тригонометрической ;

-алгебраической .

На комплексной плоскости она может быть представлена в виде вектора.

В соответствии с этими записями различают следующие виды частотных характеристик:

- амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ):

- модуль АФЧХ – амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

- аргумент АФЧХ – фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

- вещественная часть АФЧХ – вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

- - мнимая часть АФЧХ – мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Взаимосвязь различных частотных характеристик, как видно из слайда, определяется следующими соотношениями:

;

; .

Наиболее полное представление о частотных характеристиках дает годограф АФЧХ (линия, описываемая концом вектора частотной характеристики при изменении от 0 до ) (см. рисунок 3.6).

Рисунок 3.6

Однако построение годографа весьма трудоемко, поэтому на практике они строятся редко.

Наиболее важным и наиболее часто применяемыми характеристиками являются амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Амплитудная частотная характеристика представляет собой отношение амплитуд выходного и входного сигналов .

Фазовая частотная характеристика характеризует смещение выходного сигнала по фазе относительно входного сигнала. Знак (+) фазовой характеристики указывает на то, что выходной сигнал опережает по фазе входной, (-) говорит об отставании выходного сигнала от входного.

Для частотных характеристик можно построить соответствующие графики.

Чаще амплитудные и фазовые частотные характеристики представляются совместно.

Логарифмические частотные характеристики – это амплитудная и фазовая характеристики, построенные в логарифмическом масштабе частот. Обычно используются десятичные логарифмы. Эти характеристики более удобны при выполнении расчетов систем автоматического управления. Упрощенные (асимптотические) логарифмические частотные характеристики более просто строятся, с их помощью легко осуществить синтез желаемых характеристик и анализ свойств автоматических систем.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) называется характеристика, полученная следующим образом:

Единица величины называется децибел [дБ].

Например, если , то и .

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется характеристика, полученная таким же образом, как и обычная фазовая частотная характеристика:

Величина измеряется в градусах или радианах.

При построении логарифмических характеристик обоих типов частота откладывается в логарифмической шкале. Отрезок на оси частот, на котором частота изменяется в 10 раз, называется декадой. Если отношение частот равно двум, то они отличаются на октаву. Обычно на одном графике совмещают логарифмические амплитудные и фазовые характеристики.

Оценка динамических свойств систем по частотным

и логарифмическим частотным характеристикам

Как отмечалось на предыдущей лекции, динамические свойства автоматических систем полностью определяются их переходными функциями.

Переходную функцию замкнутой системы автоматического управления можно получить по вещественной или мнимой частотной характеристике по следующим зависимостям

или

(для незамкнутой )

,

где , соответственно, вещественная и мнимая частотные характеристики замкнутой системы. Обычно используют первое из приведенных выше выражений.

Между амплитудно-фазовыми характеристиками разомкнутой и замкнутой систем существует связь, определяемая зависимостью

(4),

где

Вещественная частотная характеристика замкнутой системы может быть определена по амплитудной и фазовой частотным характеристикам разомкнутой системы.

Представим выражение (4) в виде

.

Учитывая, что

получим .

Откуда (5)

Выражение (5) позволяет определить геометрическое место точек, соответствующее равным значениям вещественной характеристики в координатной плоскости, где по одной из осей откладывается усиление а по другой – фаза разомкнутой системы. Семейство линий (номограмма) равных значений Р показана на слайде 5.3.

Если заданы логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики разомкнутой системы, то перенося значения амплитуды и фазы при различных частотах на плоскость номограммы, получим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы в координатах номограммы. Точки пересечения этой характеристики с линиями равных значений Р определяют частоту и соответствующую ординату вещественной характеристики равную индексу кривой номограммы, на которой лежит рассматриваемая точка пересечения.

В1. Классификация элементов автоматических систем

Автоматическая система состоит из управляемого объекта и автоматического управляющего устройства.

Управляемый объект является специфической частью системы автоматического управления. Его свойства и характеристики много шире свойств и характеристик автоматического управляющего устройства, поэтому свойства управляемых объектов рассматриваются не в теории автоматического управления, а в специальных дисциплинах.

Автоматическое управляющее устройство объединяет различные элементы, которые, находясь между собой в определенной связи, обеспечивают управление объектом. Именно такие элементы изучаются в теории автоматического управления.

Элементы автоматических систем различны по решаемым задачам, устройству и свойствам. Поэтому множество элементов можно упорядочить определенной классификацией.

В.1.1. Классификация элементов автоматических систем

по назначению (по функциональным признакам)

Элементы, классифицируемые по функциональным признакам, называются устройствами. Различают измерительные, усилительные, исполнительные и корректирующие устройства.

Измерительные устройства являются собирателями и поставщиками рабочей информации, необходимой для функционирования автоматической системы. Однако измерительные устройства обладают небольшой мощностью сигнала, которой недостаточно для приведения в действие управляющих органов. Поэтому первичный сигнал управления, как правило, нуждается в усилении.

Усилительные устройства усиливают первичный сигнал управления до величины, достаточной для приведения в действие исполнительных устройств. Усиление сигнала происходит за счет внешнего источника энергии.

Исполнительные устройства воспринимают усиленный сигнал и преобразуют его в перемещение управляющего (регулирующего) органа. По виду энергии, используемой для перемещения регулирующего органа, исполнительные устройства подразделяются на электрические, гидравлические и пневматические.

Часто оказывается невозможным так подобрать свойства указанных устройств, чтобы в целом система имела необходимое качество процесса управления. Поэтому в этих случаях включают в автоматическую систему корректирующие устройства.

В.1.2. Классификация элементов по их динамическим свойствам

Элементы автоматических систем имеют самое различное конструктивное выполнение, самые разные принципы действия и устройства. Однако, если рассматривать все множество элементов с точки зрения прохождения через них сигналов, то принципиально различных случаев трансформации сигналов в элементах не так уж много. Все множество элементов можно разделить на небольшое число групп с одинаковыми динамическими свойствами.

Динамические свойства элементов характеризуются видом их дифференциальных уравнений, переходной и передаточной функциями, а также частотными характеристиками.

Передаточная функция системы управления, как было показано на лекции №3, является отношением двух многочленов. Каждый из них можно рассматривать как алгебраическое уравнение и найти корни этих уравнений. Поэтому многочлены числителя и знаменателя можно разложить на произведения элементарных функций от корней соответствующих уравнений.

Каждый действительный корень, равный , дает в разложении двучлен вида , где . Каждая пара комплексно сопряженных корней и дает в разложении трехчлен вида , где .

На основании изложенного передаточная функция может быть представлена в виде:

(1),

где - число и индекс действительных корней;

е, j – число и индекс сопряженных комплексных корней;

r – разность числа нулевых корней числителя и знаменателя.

Полученное равенство (1) означает, что система управления может быть представлена как последовательное соединение элементов с простейшими передаточными функциями вида

.

Элементы с такими передаточными функциями называются элементарными динамическими звеньями. К ним относится также элемент с передаточной функцией .

Таким образом, различают следующие элементарные динамические звенья:

-усилительное с ;

- интегрирующее с ;

- дифференцирующее с ;

- инерционное с ;

- форсирующее первого порядка с ;

- форсирующее второго порядка с ;

- второго порядка с ;

• с постоянным временным запаздыванием с .

В.2. Усилительное звено

Это звено описывается уравнением, где х (t) и у(t) – входной и выходной сигналы, к – коэффициент усиления.

В операторном виде это уравнение записывается

где

изображение функций.

В любой момент времени t выходной сигнал усилительного звена пропорционален входному. Поэтому иногда усилительное звено называют пропорциональным.

Передаточная функция усилительного звена

Н а структурных схемах звено изображается

Переходная функция этого звена

т. е.

это ступенчатая функция с

величиной скачка К.

Импульсная переходная функция.

т.е.

это единичная импульсная

функция, увеличенная в К раз.

Амплитудно – фазовая частотная характеристика

Вещественная и мнимая частотные характеристики соответственно равны .

Амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики определяются по формулам:

и имеют следующий вид:

Таким образом амплитуда выходного сигнала отличается от амплитуды входного сигнала в К раз, их фазы совпадают.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика логарифмическая фазовая частотные характеристики определяются формулами

и имеют следующий вид.

Примером усилительного звена является жесткий механический рычаг, если перемещение одного плеча считать входным сигналом, а перемещение другого – выходным.

В.3. Интегрирующее звено

Это звено описывается уравнениями

В операторном виде

P(Y)=КХ(p)

Передаточная функция интегрирующего звена

На структурных схемах звено изображается

Изображением переходной функции будет

,

сама переходная функция записывается

и имеет вид

Импульсная переходная функция записывается и имеет вид

Амплитудно – фазовая частотная характеристика

Вещественная и мнимая частотные характеристики соответственно равны

Амплитудная частотная и фазовая частотные характеристики определяются по формулам

и имеют следующий вид:

Таким образом, амплитуда выходного сигнала с увеличением частоты уменьшается обратно пропорционально этой частоте. При любой частоте выходной сигнал отстает по фазе от входного на .

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика определяется зависимостью

и является прямой линией, которая пересекает ось частот в точке .

Частота, при которой

называется частотой среза .

Наклон прямой логарифмической

амплитудной частотной характерис-

ки задается тангенсом угла .

Его можно найти как отношение

приращений

и для двух частот

и .

В данном случае

При изображении характеристик надпись обычно опускают, записывая рядом с прямой только значения тангенса.

Л огарифмическая фазовая частотная характеристика определяется зависимостью

и имеет тот же вид, что и , но

строится в логарифмическом масштабе частот .

Примером интегрирующего звена может служить гидравлический силовой цилиндр, если входным сигналом считать объемный расход втекающей жидкости Q в единицу времени, а выходным сигналом – перемещение поршня :

, где - площадь поршня.

В.4.Дифференцирующее звено

Это звено описывается уравнением

или в операторном виде Y(p)=к pX(p).

Передаточная функция дифференцирующего звена

Н а структурных схемах звено изображается

Изображением переходной функции будет Н(р)=к. Переходная функция является единичной импульсной функцией, увеличенной в к раз

и имеет вид

Импульсная переходная функция равна производной от переходной функции и имеет следующий вид

Амплитудно – фазовая

частотная характеристика

Вещественная и мнимая частотные характеристики соответственно равны

Амплитудная частотная и фазовая частотные характеристики определяются по формулам

и имеют следующий вид

Таким образом, амплитуда выходного сигнала по отношению к амплитуде входного увеличивается пропорционально увеличению их частоты. Фаза выходного сигнала опережает входной сигнал на . Поэтому реализация такого звена невозможна.

Логарифмические характеристики дифференцирующего звена

и имеют следующий вид

Отмеченные выше динамические характеристики дифференцирующего звена практически реализовать невозможно, поэтому такое звено называют идеальным дифференцирующим звеном. На практике реализуются звенья с близкими к этим характеристикам. Это реальные дифференцирующие звенья.

В.5. Инерционное звено