Глава 3. Перестановки и подстановки §1. Перестановки из n чисел

Пусть М – некоторое конечное множество из n элементов.

Определение. Всякое расположение элементов этого множества в определенном порядке называется перестановкой из n символов.

Например, если , то – перестановка из трех символов.

Элементы множества М можно занумеровать числами 1,2,3,…,n; поэтому вместо перестановок элементов из М можно рассматривать только перестановки чисел {1,2,...,n} (1).

Методом математической индукции легко доказывается

Теорема 1. Число различных перестановок из n чисел равно n!

Доказательство этой теоремы приведено в [1].

Определение 1. Если в некоторой перестановке из n чисел число i стоит раньше j, но i>j, то есть большее число стоит раньше меньшего, то говорят, что пара i,j составляет инверсию.

Например, в перестановке 3,1,4,2 (2) пары 3,1; 4,2 и 3,2 составляют инверсии.

Определение 2. Перестановка называется четной, если общее число инверсий в ней четное; в противном случае перестановка нечетная.

Перестановка (2) нечетная, т.к. в ней всего три инверсии.

Определение 3. Пусть дана некоторая перестановка

…, i,..., j,... (3). Преобразование, при котором числа i и j меняются местами, а остальные остаются на своих местах, называется транспозицией.

После транспозиции чисел i и j в перестановке (3) получим перестановку

…, j,..., i,... (4), где все элементы, кроме i и j,остались на своих местах.

Теорема 2. От любой перестановки из n чисел можно перейти к любой другой перестановке из этих чисел с помощью нескольких транспозиций.

Доказательство. Пусть требуется перейти от перестановки i₁, i₂, ..., i_n (5) к перестановке j₁, j₂, ..., j_n (6). В перестановке (5) производим транспозицию чисел i₁ и j₁; получим j₁, i₂, ..., i₁, ..., i_n (7). В перестановке (7) производим транспозицию чисел i₂ и j₂: j₁, j₂, i₃,..., i_n и т.д. Через конечное число шагов из перестановки (5) получим (6). Теорема доказана.

Теорема 3. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.

Доказательство этой теоремы приведено в [1].

Теорема 4. При n≥2 число четных и нечетных перестановок из n чисел одинаково и равно .

Доказательство. Введем обозначения: Ч – множество всех четных перестановок из n чисел, Н – множество всех нечетных перестановок из этих же чисел. Т.к. n≥2, то среди чисел существуют два различных числа i, j. Во всех перестановках из n чисел проведем транспозицию чисел i и j. Тогда множество Ч перейдет в множество Н₁ и это отображение Ч  Н₁ – биекция. По теореме 3 Н₁  Н. Значит, число элементов множества Ч и число элементов множества Н связаны неравенством: |Ч|≤|Н| (8). Аналогично, учитывая, что нечетные перестановки при транспозиции чисел i и j перейдут в четные, можно показать, что |Н|≤|Ч| (9). Из неравенств (8) и (9) следует, что |Н|=|Ч|, а тогда из теоремы 1 получаем, что число четных и нечетных перестановок из n чисел равно .

Теорема доказана.

§2. Подстановки n-й степени

Определение 1. Пусть М – конечное множество из n элементов. Всякое биективное преобразование множества М называется подстановкой n-й степени.

Удобно элементы множества М занумеровать натуральными числами (1) и рассматривать подстановки элементов этого множества. Но запись в виде

1→i₁,

2→i₂,

3→i₃,

...

n→i_n

где и все i_k различны, довольно громоздкая. Поэтому рассмотренную выше подстановку записывают так: (10) и понимают, что . В нижней строке подстановки f стоит некоторая перестановка из n чисел. Подстановка (10) называется подстановкой стандартного вида.

Заметим, что из определения подстановки следует, что ее столбцы можно произвольным образом менять местами, т.к. получим то же самое преобразование (т.е. ту же самую подстановку).

Определение 2. Подстановка называется четной, если обе ее строки (перестановки) имеют одинаковые четности, т.е. либо обе четные, либо обе нечетные. В противном случае подстановка называется нечетной.

Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от формы записи подстановки.

Пусть задана подстановка f. Две ее разные формы записи отличаются только порядком расположения столбцов. В силу теоремы 2 от одного расположения столбцов можно перейти к другому расположению (перестановке) этих же столбцов с помощью нескольких транспозиций столбцов. В силу теоремы 3 при каждой транспозиции столбцов четности верхней и нижней перестановок меняется, однако сохраняется совпадение (несовпадение) четностей строк. По определению четность подстановки при этом не меняется. Этим доказано, что при любой перестановке столбцов подстановки f ее четность одна и та же (т.е. четность подстановки f не зависит от формы ее записи).

Замечание 1. Нетрудно видеть, что четность подстановки можно определить иначе: подстановка называется четной, если общее число инверсий верхней и нижней строк четно, в противном случае подстановка нечетная.

Очевидно, любую подстановку можно записать в стандартном виде (10). При такой записи четность подстановки определяется только четностью ее нижней строки.

Теперь из теоремы 4 получаем

Утверждение. При n≥2 число четных и нечетных подстановок n-ой степени одинаково и равно .

Подстановки – это преобразования конечного множества, поэтому их можно перемножать по правилам умножения отображений.

 :   , g :   ,

,

g(i)=g((i))=g(j)=k. Например,

.

Отметим некоторые свойства умножения подстановок. Т.к. подстановки – это биективные отображения, то для них справедливы и доказанные ранее свойства таких отображений:

1. Ассоциативность.

2. Некоммутативность (при n 3).

3. Существование тождественной подстановки n-ой степени:

,

,где f – любая подстановка n-ой степени.

4. Существование обратной подстановки.

Если подстановка f имеет вид (10), то обратная подстановка f^-1 такова:

, так как .

Замечание 2. Во многих современных книгах подстановки называют перестановками (см., например, [2]).