- •Я. Д. Половицкий алгебра
- •Введение
- •Основные обозначения
- •Часть 1 Глава 1. Комплексные числа §1. Система комплексных чисел
- •§2. Алгебраическая форма комплексного числа
- •Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.
- •§3. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •§4. Сопряженные числа
- •Свойства сопряженных чисел
- •§5. Возведение комплексных чисел в степень
- •§6. Извлечение корня из комплексного числа
- •§7. Решение квадратных уравнений
- •Квадратные уравнения с действительными
- •Квадратные уравнения с комплексными коэффициентами
- •§8. Корни из единицы
- •Свойства
- •Первообразные
- •Глава 2. Отображения множеств §1. Основные определения
- •§2. Умножение отображений
- •Правая запись.
- •Свойства умножения отображений
- •§3. Преобразования множеств
- •Глава 3. Перестановки и подстановки §1. Перестановки из n чисел
- •§2. Подстановки n-й степени
- •Глава 4. Определители n-го порядка §1. Определение определителя
- •§2. Свойства определителей
- •§3. Вычисление определителей
- •§4. Еще одно свойство определителей
- •Глава 5. Матрицы §1. Простые и двойные суммы
- •Свойства простых сумм
- •Двойные суммы
- •Свойства двойных сумм
- •§2. Линейные преобразования неизвестных
- •§3. Умножение матриц
- •§4. Обратная матрица
- •Единственность единичной и обратной матриц
- •§5. Решение матричных уравнений
- •Матричное доказательство теоремы Крамера
- •Глава 6. Основные алгебраические структуры §1. Алгебраическая операция
- •§2. Группы
- •§3. Кольца
- •Некоторые следствия из аксиом кольца
- •Делители нуля
- •§4. Поля
- •Некоторые следствия из аксиом поля
- •§5. Подполя и расширения полей
- •§6. Изоморфизм колец (полей)
- •§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений
- •§8. Определители и матрицы над произвольным полем
- •Глава 7. Многочлены и их корни §1.Кольцо многочленов
- •§2. Деление с остатком
- •§3 Делители. Свойства делимости многочленов
- •Свойства делимости многочленов
- •§4.Наибольший общий делитель
- •Следствие из алгоритма Евклида
- •Свойства взаимно простых многочленов
- •§5.Корни многочленов
- •Метод Горнера
- •Кратные корни
- •§6.Число корней многочлена в произвольном поле
- •Равносильность двух понятий равенства многочленов над бесконечным полем
- •Поле разложения многочлена
- •§7.Формулы Виета
- •§8.Основная теорема алгебры комплексных чисел
- •Следствия из основной теоремы
- •Отделение кратных корней
- •§9.Многочлены с действительными коэффициентами
- •§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями c и r
- •Неприводимые многочлены над полем c
- •Неприводимые многочлены над полем r
- •Глава 8. Линейные пространства § 1. Определение линейного пространства
- •Основные примеры линейных пространств
- •§ 2. Линейная зависимость векторов
- •§ 3. Максимальные линейно независимые подсистемы
- •§ 4. Основная теорема о линейной зависимости. Ее следствия
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости
- •§ 5. Конечномерные линейные пространства
- •Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств
- •§ 6. Изоморфизм линейных пространств
- •§ 7. Координаты вектора
- •§ 8. Матрица перехода
- •Связь координат вектора а в разных базисах
- •§ 9. Подпространства линейного пространства
- •Глава 9. Ранг матрицы и системы линейных уравнений § 1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
- •Следствия из теоремы о базисном миноре
- •Применение ранга матрицы для решения вопросов о линейной зависимости в пространстве p(n)
- •Применение ранга матрицы к решению вопроса о линейной зависимости векторов в конечномерном линейном пространстве
- •§ 2. Системы линейных уравнений
- •Критерий совместности системы линейных уравнений
- •Обоснование практического способа решения систем линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •Общее решение
- •Число решений совместной системы линейных уравнений
- •Однородные системы и их пространства решений
- •Размерность пространства решений однородной системы
- •§ 3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений
- •§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений
- •Глава 10. Линейные преобразования линейных пространств § 1. Линейные отображения линейных пространств
- •§2. Линейные преобразования линейных пространств
- •Координаты образа вектора при линейном преобразовании
- •§ 3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства
- •Понятие о нормальной форме Жордана
- •§4. Операции над линейными преобразованиями
- •§ 5. Ядро и область значений линейного преобразования
- •Невырожденные линейные преобразования
- •§ 6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования
- •§ 7. Линейные преобразования с простым спектром
- •Часть 2 глава 1. Числовые функции на линейных пространствах
- •§1. Линейные функции
- •§2. Билинейные функции
- •§3. Квадратичные формы
- •Переход к новому базису
- •§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •Комплексный нормальный вид
- •Действительный нормальный вид
- •§5. Закон инерции действительных квадратичных форм
- •Положительно определенные квадратичные формы
- •Глава 2. Евклидовы пространства §1. Скалярное произведение
- •§2. Ортогональные системы векторов
- •§3. Длина вектора. Угол между векторами
- •Корректность определения угла вытекает из неравенств , равносильных неравенству Коши – Буняковского: .
- •§4. Ортонормированные базисы
- •§5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •§6. Ортогональные дополнения подпространств
- •§7. Унитарные пространства
- •Глава 3. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств §1. Ортогональные матрицы
- •Свойства ортогональных матриц
- •§2. Сопряженные линейные преобразования
- •§3. Ортогональные преобразования
- •§4. Симметрические преобразования
- •§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях
- •§6. Приведение квадратичной формы к главным осям
- •Практическое приведение к главным осям
- •Практическое нахождение сон-базиса
- •Глава 4. Аффинные пространства и аффинные преобразования §1. Определение аффинного пространства
- •§2. Система координат в аффинном пространстве
- •§3. Плоскости в аффинных пространствах
- •§4. Аффинные преобразования
- •§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии
- •Группы и геометрии
- •Глава 5. Квадрики §1. Квадрики в аффинных пространствах
- •§2. Метрическая классификация квадрик
- •§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду
- •Глава 6. Многочлены от нескольких неизвестных §1. Кольцо многочленов от n неизвестных
- •§2. Симметрические многочлены
- •§3. Однородные симметрические многочлены
- •§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Половицкий Яков Давидович Алгебра
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
- •614990. Пермь, ул. Букирева, 15
Библиографический список
Курош А. Г. Курс высшей алгебры. СПб: Лань, 2006.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры. М.: Физматлит, 2000.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2. Линейная алгебра. М: Физматлит, 2000.
Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. СПб.: Лань, 1999.
Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. М.: Финансы и статистика, 2003.
Михалев А.В., Михалев А.А. Начала алгебры. Ч.1. Интернет-университет информационных технологий. М., 2005.
Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М: Наука, 1979.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука. 1984.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит,
2001.
Головина Л.Н. Линейная алгебра и некоторые её приложения. М: Наука, 1975.
Половицкий Я.Д. Алгебра: учеб. пособие. Пермь, 2007. Ч.1.
Половицкий Я.Д. Алгебра: учеб. пособие. Пермь, 2008. Ч.2.
Оглавление
Введение……………………………………………………………………3
Основные обозначения……………………………………………………4
ЧАСТЬ 1…………………………………………………………………...4
ГЛАВА 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА………………………………...4
§1. Система комплексных чисел……………………………………….4
§2. Алгебраическая форма комплексного числа………………………6
§3. Тригонометрическая форма комплексного числа………………...7
§4. Сопряженные числа…………………………………………………9
§5. Возведение комплексных чисел в степень……………………….10
§6. Извлечение корня из комплексного числа……………………….11
§7. Решение квадратных уравнений……………………………….....14
§8. Корни из единицы………………………………………………….15
ГЛАВА 2. ОТОБРАЖЕНИЕ МНОЖЕСТВ………………………….18
§1. Основные определения……………………………………………18
§2. Умножение отображений………………………………………….20
§3. Преобразование множеств………………………………………...23
ГЛАВА 3. ПЕРЕСТАНОВКИ И ПОДСТАНОВКИ………………...24
§1. Перестановки из n чисел…………………………………………..24
§2. Подстановки n-ой степени………………………………………...25
ГЛАВА 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ N-ГО ПОРЯДКА…………………….28
§1. Определение определителя………………………………………..28
§2. Свойства определителей…………………………………………..28
§3. Вычисление определителей……………………………………….33
§4. Ещё одно свойство определителей……………………………….37
ГЛАВА 5. МАТРИЦЫ………………………………………………….38
§1. Простые и двойные суммы………………………………………..38
§2. Линейные преобразования неизвестнх…………………………...39
§3. Умножение матриц………………………………………………...41
§4. Обратная матрица………………………………………………….42
§5. Решение матричных уравнений…………………………………..45
ГЛАВА 6. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ…...48
§1. Алгебраическая операция ………………………………………...48
§2. Группы……………………………………………………………...48
§3. Кольца………………………………………………………………50
§4. Поля…………………………………………………………………51
§5. Подполя и расширения полей……………………………………..53
§6. Изоморфизм колец (полей)………………………………………..54
§7. Построение поля комплексных чисел на языке подполей и расширений…………………………………………………………….55
§8. Определители и матрицы над произвольным полем……………56
ГЛАВА 7. МНОГОЧЛЕНЫ И ИХ КОРНИ………………………….57
§1. Кольцо многочленов……………………………………………….57
§2. Деление с остатком………………………………………………...60
§3. Делители. Свойства делимости многочленов……………………62
§4. Наибольший общий делитель……………………………………..65
§5. Корни многочленов………………………………………………..70
§6. Число корней многочлена в произвольном поле………………...73
§7. Формулы Виета…………………………………………………….76
§8. Основная теорема алгебры комплексных чисел…………………76
§9. Многочлены с действительными коэффициентами……………..79
§10. Неприводимые и приводимые многочлены над полями С и R..80
ГЛАВА 8. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА…………………………84
§1. Определение линейного пространства…………………………...84
§2. Линейная зависимость векторов………………………………….86
§3. Максимальные линейно независимые подсистемы……………..88
§4. Основная теорема о линейной зависимости. Её следствия……..90
§5. Конечномерные линейные пространства………………………...93
§6. Изоморфизм линейных пространств……………………………...96
§7. Координаты вектора……………………………………………….98
§8. Матрица перехода………………………………………………….99
§9. Подпространства линейного пространства……………………..101
ГЛАВА 9. РАНГ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………………………………………………………..104
§1. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре…………………….104
§2. Системы линейных уравнений…………………………………..109
§3. Задание подпространств конечномерных линейных пространств системами линейных однородных уравнений……………………...118
§4. Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений……………………………………………………………..120
ГЛАВА 10. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ……………………………………………………….122
§1. Линейные отображения линейных пространств………………..122
§2. Линейные преобразования линейных пространств…………….123
§3. Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства…………………………..125
§4. Операции над линейными преобразованиями………………….128
§5. Ядро и область значений линейного преобразования………….130
§6. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования……………………………………………………….133
§7. Линейные преобразования с простым спектром……………….136
ЧАСТЬ 2………………………………………………………………..138
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ………………………………..............................138
§1. Линейные функции……………………………………………….138
§2. Билинейные функции…………………………………………….139
§3. Квадратичные формы……………….............................................140
Переход к новому базису………………………………………….142
§4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.……143
Комплексный нормальный вид……………………………………147
Действительный нормальный вид………………………………...147
§5. Закон инерции действительных квадратичных форм..…..…….148
Положительно определенные квадратичные формы…………….150
ГЛАВА 2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА……………………...152
§1. Скалярное произведение…………………………………………152
§2. Ортогональные системы векторов………………………………153
§3. Длина вектора. Угол между векторами…………………………153
§4. Ортонормированные базисы…………………………………….157
§5. Изоморфизм евклидовых пространств………………………….158
§6. Ортогональные дополнения подпространств…………………..160
§7. Унитарные пространства………………………………………...161
ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ………..161
§1. Ортогональные матрицы…………………………………………161
Свойства ортогональных матриц………………………………….162
§2. Сопряженные линейные преобразования……………………….163
§3. Ортогональные преобразования…………………………………165
§4. Симметрические преобразования……………………………….166
§5. Основная теорема о симметрических преобразованиях……….168
§6. Приведение квадратичной формы к главным осям…………….170
Практическое приведение к главным осям………………………171
Практическое нахождение СОН-базиса…………………………..171
ГЛАВА 4. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ………………………………………………….173
§1. Определение аффинного пространства………………………...173
§2. Система координат в аффинном пространстве…………………174
§3. Плоскости в аффинных пространствах…………………………176
§4. Аффинные преобразования……………………………………...181
§5. Точечно-векторные евклидовы пространства. Группы и геометрии……………………………………………………………...184
Группы и геометрии………………………………………………..185
ГЛАВА 5. КВАДРИКИ………………………………………………..186
§1. Квадрики в аффинных пространствах…………………………..186
§2. Метрическая классификация квадрик…………………………..190
§3. Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду………………………………………………….193
ГЛАВА 6. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ………………………………………………………194
§1. Кольцо многочленов от n неизвестных…………………………194
§2. Симметрические многочлены…………………………………...196
§3. Однородные симметрические многочлены……………………..198
§4. Значение симметрического многочлена от корней уравнения..199
Библиографический список………………………………………….201
Учебное издание