§2. Симметрические многочлены

Определение 5. Многочлен f(х₁,…,х_n)P[х₁,…,х_n] называется симметрическим многочленом, если он не меняется при любой перестановке неизвестных.

Чтобы проверить, является ли данный многочлен симметрическим, достаточно убедиться, что он не меняется при перестановке любых двух входящих в него неизвестных, т.е. при их транспозиции, ибо любая перестановка неизвестных х₁,…,х_n может быть получена путем последовательного выполнения конечного числа транспозиций.

Среди симметрических многочленов от n неизвестных особую роль играют суммы всевозможных произведений по 1,2,...,n:

. (1)

Их называют элементарными симметрическими многочленами.

Нетрудно видеть, что множество всех симметрических многочленов с коэффициентами из поля Р составляет кольцо, так как сумма и произведение симметрических многочленов, очевидно, являются симметрическими многочленами. Его называют кольцом симметрических многочленов.

Лемма 4. Пусть – высший член симметрического многочлена f(х₁,…,х_n). Тогда выполняются неравенства k₁...k_n.

Доказательство. Предположим противное. Тогда существуют число i такое, что k_i+1>k_i (2). Высший член многочлена f(х₁,…,х_n) запишем подробнее: (3). В многочлене f(х₁,…,х_n) поменяем местами неизвестные х_i и x_i+1, а остальные неизвестные оставим на своих местах. Тогда его высший член перейдет (ввиду того, что f – симметрический многочлен) в следующий член этого многочлена: = . В силу неравенства (2) этот член выше высшего члена (3), что противоречит определению высшего члена.

Следовательно, k_i+1 k_i для любого i=1,…,n-1. Лемма доказана.

Теорема (основная теорема о симметрических многочленах). Всякий симметрический многочлен от неизвестных х₁,…,х_n с коэффициентами из поля Р можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов ₁,… _n c коэффициентами, принадлежащими этому же полю.

Доказательство. Пусть – высший член симметрического многочлена f(х₁,…,х_n). В силу леммы 4 выполняются неравенства k₁...k_n (4). Составим следующее выражение: (5).

В силу (4) k_i - k_i+10, поэтому ₁ – многочлен от ₁,…, _n. Если в многочлен ₁ вместо _i подставить их выражения через х₁,…,х_n, то получится некоторый многочлен от х₁,…,х_n. Так как высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей и высший член ₁ равен х₁, ₂ – х₁х_2, … _n – х₁...x_n, то из (5) следует, что высшим членом многочлена ₁ будет = = .

Высший член многочлена ₁ оказался таким же, что и высший член многочлена f. Поэтому разность f- ₁=f₁ будет симметрическим многочленом от х₁,…,х_n, у которого высший член ниже высшего члена f.

Возможны два случая:

1. f₁=0. Тогда f- ₁=0. Следовательно, f= ₁(₁ ,…, _n ) и теорема доказана.

2. f₁0. Тогда точно так же по высшему члену f₁ составляется многочлен ₂(₁ ,…, _n), такой, что разность f₁- ₂=f₂= f₁- ₁- ₂ будет симметрическим многочленом, у которого высший член ниже высшего члена f₁, и, следовательно, ниже высшего члена f, и т.д.

Покажем, что через конечное число шагов f_s=0. Тогда f_s= f- ₁- ₂-…- _s=0, т.е. f= ₁+ ₂+…+ _sP[₁,…, _n], и теорема будет доказана. Для этого рассмотрим высший член (6) любого промежуточного многочлена f_j(х₁,…,х_n). Так как f_j – симметрический многочлен, то по лемме 4 имеем: l₁...l_n (7). Но высший член f_j ниже высшего члена f, и потому l₁ k₁. Отсюда и из (7) следует, что l_i k₁ (8) для любого i=1,…,n.

Нетрудно видеть, что наборов l₁,...,l_n с условиями (7) и (8), где l_iN0, существует лишь конечное число. Значит, описанная выше процедура через конечное число шагов закончится.

Теорема доказана.

Замечание1. Другими словами, основная теорема означает: любой симметрический многочлен f(х₁,…,х_n)P[х₁,…,х_n] можно выразить через элементарные симметрические многочлены с помощью операций сложения, умножения и умножения на элементы поля Р.

Замечание2. Можно доказать, что выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены единственно.